Exponentialgleichungen lösen, Fehlersuche

Question

Aufgabe:

Hallo,

bei der folgenden Gleichung soll x1=0 und x2=0,69 rauskommen.

Wieso kann ich sie nicht wie folgt lösen? Sehe hier leider meinen Fehler nicht.

Text erkannt:

\( \begin{aligned} e^{x}+2 e^{-x} & =3 \\ e^{x}+\frac{2}{e^{x}} & =3 \quad 1 \cdot e^{x} \\ \left(e^{x}\right)^{2}+2 & =3 e^{x} \\ \left(e^{x}\right)^{2}-3 e^{x} & =-2 \\ e^{x}\left(e^{x}-3\right) & =-2 \\ e^{x} & =0 \quad \ln (0)\end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Comments

Es heißt nicht umsonst Satz vom NULLprodukt und nicht Satz vom MINUSZWEIprodukt. ;)

Answer 1

Wie kommst du darauf, dass e^x=0 gilt?

Das Produkt ist -2 und nicht 0!

Löse stattdessen die quadratische Gleichung (e^x)^2 - 3e^x + 2 = 0.

Answer 2

Substituiere. e^x = z

z^2-3z+2 =0

(z-1)(z-2)= 0

z= 1 v z= 2

resubstiuieren:

e^x= 1

x= ln1 = 0

e^x=2

x= ln 2

L={0, ln2}

Answer 3

Lösungsweg ohne Substitution:

\( (e^x)^2-3e^{x}=-2 \)

\( e^{2x}-3e^{x}+(\frac{3}{2})^2=-2+(\frac{3}{2})^2=0,25 \)

\( (e^{x}-\frac{3}{2})^2=0,25  | \pm\sqrt{~~}\)

1.)

\(e^{x}-1,5=0,5  \)

\(e^{x}=2 \)

\(x \cdot ln(e)=ln(2) \)        \( ln(e)=1\)   

\(x_1=ln(2) \) 

2.)

\(e^{x}-1,5=-0,5  \)

\(e^{x}=1  \)     

\(x_2=0  \)