Bestimme die Wurzel von der Matrix A

Question

Sei X eine nxk Matrix mit rang(X)=k. Sei A= X*(X^T*X)^-1*X^T. A ist idempotent und symmetrisch. Bestimme A^1/2

Na ja, da wir keine spezifischeren Werte angegeben haben kann man ja Folgendes meinen: Sagen wir B= A^1/2 und A=U*C*U^t. U ist die Orthonormalmatrix und C die Diagonalmatrix von A. Demanch ist B= U*W*U^t, wobei W die Diagonalmatrix von A ist, deren Diagonalelemente in die Wurzel genommen werden. W^t=W gilt ja, demnach B^t=B,

Also B^2= U*W*U^t*U*W*U^t= U*C*U^t=A. Alo wäre U*W*U^t eine lösung oder soll man hier diese Matrix anders angeben?

Comments

Ich habe das Problem noch nicht verstanden: Wenn A^2=A ist, ist dann nicht A eine Wurzel von A?

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Aso, daran hätte ich jetzt gar nicht gedacht. Diese zwei Eigenschaften "idempotent" und "symmetrisch" habe ich bereits beweisen müssen in vorherigen Unterpunkten. Demnach darf ich diese dann auch als Annahme verwenden. Also, wenn ich mir es jetzt überlege, wäre dein Vorschlag richtig