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Im Vektorraum R4x1 seien komplementäre Unterräume U1= [{a1, b1}] und U2= [{a2, b25805F4C5-578E-420D-BBD9-D1AB5D04ACA7.jpeg

Text erkannt:

\( (\alpha) \quad \boldsymbol{a}_{1}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \);
\( (\beta) \quad \boldsymbol{a}_{1}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \);
\( (\gamma) \quad \boldsymbol{a}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{1}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{a}_{2}=\left(\begin{array}{r}0 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{b}_{2}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ -1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \).


}]
gegeben mit

Ferner sei p2 : R4×1 → R4×1 die Projektion auf U2 in Richtung U1.
(a) Bestimme mit Hilfe des Fortsetzungssatzes jene Matrix A ∈ R4×4, welche die Projektion p2 be- schreibt.
(b) Gib für einen beliebigen Vektor v = (v1, v2, v3, v4)T ∈ R4×1 die Zerlegung in der Form v = v1 + v2 mitv1 ∈U1 undv2 ∈U2 an.

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Was sagt der Fortsetzungssatz?

Das Prinzip der linearen Fortsetzung besagt, dass jede lineare Abbildung genau durch die Bilder der Basisvektoren bestimmt ist. Es liefert eine alternative Möglichkeit eine lineare Abbildung zu charakterisieren.

https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Prinzip_der_linearen_Fortsetzung

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Dann ist doch z.B. p(a1) = b1 und p(a2)= b2

Und wenn man a1, a2 durch a3, a4 zu einer Basis von ℝ^4 ergänzt, dann kann man

z.B. auch p(a3) = b1 und p(a4)= b2 hinzunehmen und hat das p bestimmt.

Avatar von 289 k 🚀

Nach meinem Verständnis der Vorgaben wäre

p(a1)=0, p(b1)=0,p(a2)=a2,p(b2)=b2

Scheint irgendwie egal zu sein.

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