Berechnen Sie die Projektion P

Question

Aufgabe:

Es sei \( V:=\operatorname{Span}\left(v_{1}, v_{2}\right) \) (mit \( v_{1}, v_{2} \) die ersten beiden Vektoren der ONB aus Teil a). Berechnen Sie die Projektion \( P_{V}(x) \) für \( x=(1,1,1)^{T} \).

Problem/Ansatz:

v1= 1/√2 * [0,1,1]

v2= 1/√2 * [0,-1,1]

[0,1,1] = 0

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Answer 1

Aloha :)

Projeziere den Vektor \(\vec x\) auf die beiden Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\), die den Vektorraum \(V\) aufspannen. Da hier diese Vektoren bereits auf die Länge \(1\) normiert sind, brauchst du dazu nur \(\vec x\) mit den beiden Vektoren zu multiplizieren:$$P_V(\vec x)=(\vec x\cdot\vec v_1)\cdot\vec v_1+(\vec x\cdot\vec v_2)\cdot\vec v_2$$$$\phantom{P_V(\vec x)}=\frac12\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\frac12\left(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$$$$\phantom{P_V(\vec x)}=\frac12\cdot2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\frac12\cdot0\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$