Projektion P_(V)(x) bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei V := Span(v1, v2)

Die Orthonormalbasen habe ich berechnet und habe für $$v_{1}=\left\{\begin{array}{c}{0} \\ {\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$$  und v2 wäre $$v_{2}=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ {\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)  . $$

Berechnen Sie die Projektion P_V(x) für  $$x=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right)$$
.

Problem/Ansatz:

Wie genau berechnet man denn nun die Projektion?

Answer 1

Aloha :)

Du musst den Vektor \(\vec x\) zuerst mit \(\vec v_1\) multiplizieren. Dadurch bekommst du die Länge der Projektion von \(\vec x\) auf \(\vec v_1\). Anschließend musst  du diese Länge wieder mit \(\vec v_1\) multiplizieren, um der Länge wieder eine Richtung zu geben. Danach machst du dasselbe mit \(\vec v_2\). Also:

$$\vec p(x)=\left[\left(\begin{array}{c}0\\1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}0\\1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)+\left[\left(\begin{array}{c}0\\-1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}0\\-1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec p(x)}=\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\right)\left(\begin{array}{c}0\\1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\right)\left(\begin{array}{c}0\\-1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec p(x)}=\frac{2}{\sqrt2}\left(\begin{array}{c}0\\1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)+0\cdot\left(\begin{array}{c}0\\-1/\sqrt2\\1/\sqrt2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)$$

Answer 2

Da du eine ONB berechnet hast kannst du die Projektion über

$$ p_V(x)=\langle x,v_1\rangle v_1 + \langle x,v_2\rangle v_2$$

berechnen.

Answer 3

Auf welches Koordinatensystem beziehen sich die Koordinaten von Vektor x ?

Es kommen wohl 2 Orthonormalbasen in Frage. B1 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} und B2 = {(1,0,0), v1, v2}

Geometrische Interpretation und vielleicht Bestätigung der vorhandenen Antworten (ohne Rechnung)

1. V ist die yz-Ebene

2. Vektor x wird senkrecht zur yz-Ebene auf die yz-Ebene. Was geschieht? Die x-Koordinate ist 0. Die y- und die z-Koordinate sind gleich wie vorher. D.h. p_V(x) = (0,1,1) . Egal auf welche Basis ( B1 oder B2)  sich die Koordinaten des Vektors x beziehen. Vernünftig wäre, wenn im Verlauf der Rechnung (und bei der Fragestellung) überall die Basis angegeben würde.