Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f: ℝ \ {2,3} →ℝ mit f(x) = \( \frac{x^{2}-6x+9}{(x-2)(x-3)} \).
a.) Man kann die funktion f an einer Stelle x_1= 2 oder x_2 =3 stetig fortsetzen. An welcher Stelle ist dIES möglich? Begründen die Entschidung!
b.) Gegeben sei die Funktion f (über der Funktion war dieses Zeichen:~ ), welche als stetige Ergänzung der Funktion f an der in a) bestimmten Stelle entsteht, an.
--ohne Regel von Hospital--
Ansatz/Problem:
a.) Stetige Fortsetzung an \( x_1 = 2 \) oder \( x_2 = 3 \):
- vereinfachen den Ausdruck: \( x^{2}-6x+9 = (x-3)^2 \).
- \( f(x) = \frac{(x-3)^2}{(x-2)(x-3)} \).
- Kürzen von \( (x-3) \) ergibt \( f(x) = \frac{x-3}{x-2} \) für \( x \neq 3 \).
untersuchen Grenzwerte an den Stellen \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = 3 \):
- Für \( x_1 = 2 \): \( \lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x-3}{x-2} = \frac{2-3}{2-2} = \frac{-1}{0} \), was nicht definiert ist. Daher kann die Funktion an der Stelle \( x = 2 \) nicht stetig fortgesetzt werden.
- Für \( x_2 = 3 \): \( \lim\limits_{x\to3} f(x) = \lim\limits_{x\to3} \frac{x-3}{x-2} \). Da Zähler und Nenner bei \( x = 3 \) nicht null werden, kann Grenzwert direkt berechnet werden: \( \frac{3-3}{3-2} = \frac{0}{1} = 0 \). Daher kann die Funktion an der Stelle \( x = 3 \) stetig fortgesetzt werden.
b.) Stetige Ergänzung der Funktion \( f \) an der Stelle \( x = 3 \):
- Da der Grenzwert von \( f(x) \) an der Stelle \( x = 3 \) gleich 0 ist, definieren wir die stetige Ergänzung von \( f \) an dieser Stelle als \( f(3) = 0 \).
- Die ergänzte Funktion \( f \) ist dann definiert als \( f(x) = \frac{x-3}{x-2} \) für \( x \neq 3 \) und \( f(3) = 0 \).
Somit ist die Funktion \( f \) an der Stelle \( x = 3 \) stetig fortsetzbar, und die stetige Ergänzung von \( f \) an dieser Stelle ist gegeben durch \( f(3) = 0 \).
Kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
