Prüfen Sie nach, für welche a ∈ C (komplexe Zahlen) die folgenden Vektoren eine Basis des C^3 bilden:
b1 = (1 1 i)
b2 = (i a+i -2)
b3 = (-i 4-i a+1)
Ich muss ja zeigen, für welche a die Vektoren linear unabhängig sind. Mein Ansatz war zu zeigen, für welche a die einzige Lösung von r*b1 + s*b2 + t*b3 = 0 r=s=t=0 sein müsste.
Mein Ansatz: Ich habe das Gaußverfahren angewandt und nach Umstellen:
(1 i -i | 0
0 -a -4 | 0
0 0 (-4-a^2) | 0)
Nun wenn ich die 3. Gleichung betrachte, ist diese wahr für t=0 und -4-a^2=0 also für a=2i und -2i. Kann ich jetzt daraus schon folgern, dass b1, b2, b3 für alle a außer a=+-2i unabhängig sind oder muss ich noch weitere Schritte machen?
Außerdem reicht es zu zeigen, dass Sie linear unabhängig sind, damit Sie eine Basis bilden oder muss ich zusätzlich noch was weiteres zeigen?
Danke!
