Partielle Ableitung von S nach pSchlange

Question

Aufgabe:

Hallo

es soll S partielle nach p Schlange abgeleitet werden. Den gegebenen Term für S habe ich zunächst integriert um dann die partielle Ableitung zu bilden.

Problem/Ansatz:

Dabei kommt jedoch nicht der für q gegebene Term heraus

Wie kann man S nach pSchlange ableiten ohne zu integrieren?

Text erkannt:

10. Übung TPI WiSe2023/24

S Aufgabe 26 (7 Punkte): Hamilton-Jacobi Gleichungen und harmonischer Oszillator \( (3+2 \) +2 )
Wir betrachten den harmonischen Oszillator mit seiner Hamiltonfunktion \( H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega_{0}^{2} q^{2} \).
(a) Verwenden Sie die Hamilton-Jacobi Differentialgleichungen für die Wirkung \( S(q, \bar{p}, t) \) mit dem Separationsansatz:
\( S(q, \bar{p}, t)=W(q, \bar{p})+V(t, \bar{p}), \)
wobei \( \bar{p}=\alpha \) eine Konstante ist. Zeigen Sie, dass:
\( S(q, \bar{p}, t)=m \omega_{0} \int \mathrm{d} q\left(\sqrt{\frac{2 \bar{p}}{\omega_{0}^{2} m}-q^{2}}\right)-\bar{p} t . \)

Hinweis: Identifizieren Sie die auftretende Integrationkonstante \( \alpha \) mit der Konstanten \( \bar{p}=\alpha \).
(b) Verwenden Sie \( \bar{q}=\frac{\partial S}{\partial \bar{p}} \), um zu zeigen, dass
\( q=\frac{1}{\omega_{0}} \sqrt{\frac{2 \alpha}{m}} \sin \left(\omega_{0}(\bar{q}+t)\right) . \)

Was ist \( \bar{q} \) für eine physikalische Größe?
(c) Verwenden Sie \( p=\frac{\partial S}{\partial q} \), um zu zeigen, dass
\( p=\sqrt{2 m \alpha} \cos \left(\omega_{0}(\bar{q}+t)\right) . \)

Interpretieren Sie die Ergebnisse!
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Comments

Text erkannt:

\( \begin{aligned} \tilde{q}=\frac{\partial S}{\partial \tilde{p}} & =m \omega_{0} \int d q \frac{\partial\left(\sqrt{\frac{2 \hat{p}}{\omega_{0}^{2} m}-q^{2}}\right)}{\partial \hat{p}}-\frac{\partial(\tilde{p} t)}{\partial \tilde{p}} \\ & \frac{\partial}{\partial \tilde{p}}\left(\sqrt{\frac{2 \hat{p}}{\omega_{0}^{2} m}-q^{2}}\right) \\ & =\frac{1 \cdot \frac{2}{\omega_{0}^{2} m}}{2 \sqrt{11}} \\ & =\frac{1}{\omega_{0}^{2} m \sqrt{\frac{2 \bar{p}}{\omega_{0}^{2} m}-q^{2}}} \end{aligned} \)

Einseter
\( m \omega_{0} \int d q \frac{1}{\omega_{0}^{2} m \sqrt{\frac{2 \tilde{p}}{\omega_{0}^{2} m}-q^{2}}}-t=\frac{m \omega_{0}}{\omega_{0}^{2} m} \frac{\sqrt{\omega_{0}^{2} m}}{\sqrt{2 \tilde{p}}} \int d q \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2 \tilde{p}}{\omega_{0}^{2} m} q^{2}}} \)
\( \Rightarrow \operatorname{sub} . \quad x=\frac{\sqrt{2 \hat{p}}}{\sqrt{\omega_{0}^{2} m}} q \) \( \left.\Rightarrow \frac{\sqrt{\omega_{0}^{2} m}}{\sqrt{2 \hat{p}}} x=q\right\} d q=\frac{\sqrt{\omega_{0}^{2} m}}{\sqrt{2 \hat{p}}} d x \quad \frac{m \omega_{0}}{\frac{m \omega_{0}^{2}}{2 \hat{p}}} \int d x \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
\( =\frac{m \omega_{0}}{2 \tilde{p}} \arcsin (x) \stackrel{\text { Rons }}{=} \frac{m \omega_{0}}{2 \tilde{p}} \arcsin \left(\frac{\sqrt{2 \hat{p}}}{\sqrt{\omega_{0}^{2} m}} q\right)+c-t=\tilde{q} \)

Hab das Integral mit der Ableitung vertauscht, aber Resultat falsch weiterhin.

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Es geht um die Aufgabe 2b)