Question

Gleichung mit dem Mittelwertsatz beweisen? (Satz von Rolle)

Als Aufgabe war die Annahme das

 \( f(x) \) auf dem Intervall von \([x_{1}, x_{2}]\) stetig ist und ebenfalls für \((x_{1}, x_{2})\) differenzierbar ist mit \(x_{1} \cdot x_{2} > 0\).

Als Aufgabe soll bewiesen werden, dass ein \( \xi \) in \((x_{1}, x_{2})\) existiert.

Also mit dieser Gleichung

\(\frac{1}{x_{1} - x_{2}} \left[ \begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ f(x_{1}) & f(x_{2}) \end{array} \right] = f(\xi) - \xi \cdot f'(\xi)\)

Mir ist allerdings nicht wirklich klar, wie ich es Beweisen soll bzw. mit einer Matrize berechnen soll. Soll man einfach die Determinante davon nehmen oder so? Und ich verstehe auch nicht wirklich, ob ich dieses \(\xi\) für \(f\) bzw. \(f(\xi)\) einsetzen soll. Ich weiß was \(f'(\xi)\) ist aber ich verstehe nicht, wie man sowas zeigt.

Comments

Naja, du müsstest vielleicht mal in Deinem Lehrmaterial nachschauen, was das Objekt in den eckigen Klammern bedeutet.

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Es heißt Matrix... Keine Ahnung, wo die Leute den Begriff "Matrize" immer aufschnappen. Wir sind hier jedenfalls nicht im Druckwesen.

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Das sollte eigentlich keine eckige Klammer sein!

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Sind die Indizes in der zweiten Zeile deiner Matrix vertauscht ?

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@helpmeformath

Könntest du bitte die Originalfrage vollständig posten (Screenshot)?

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Text erkannt:

Sei \( f(x) \) in \( \left[x_{1}, x_{2}\right] \) stetig und in \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \) differenzierbar mit \( x_{1} \cdot x_{2}>0 \), beweisen Sie: \( \exists \xi \in \) \( \left(x_{1}, x_{2}\right) \) so dass gilt
\( \frac{1}{x_{1}-x_{2}}\left|\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) \end{array}\right|=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi) . \)

Das ist hier die Aufgabe

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Damit dürfte klar sein, dass die Determinante gemeint ist.

Answer 1

Ein Weg geht mit dem erweiterten Mittelwertsatz (siehe Abschnitt "Erweiterter Mittelwertsatz ...").

Ich setze mal aus Bequemlichkeit

\(x_1 = a,\: x_2 = b\)

Die linke Seite deiner Gleichung lässt sich so umformen, dass sie zum erweiterten MWS passt:

\(\frac 1{a-b}(af(b) - bf(a)) = ab\frac{\frac{f(b)}b - \frac{f(a)}a}{a-b} = ...\)

\(... = \frac{\frac{f(b)}b - \frac{f(a)}a}{\frac 1b - \frac 1a} \quad (1)\)

Jetzt wenden wir den verallgemeinerten MWS an, mit den Funktionen:

\(g(x) = \frac{f(x)}x\) und \(h(x) = \frac 1x\)

Dazu brauchen wir

\(g'(x) = \frac{f'(x)x - f(x)}{x^2}\)

\(h'(x) = -\frac 1{x^2}\)

Damit haben wir

\((1) = \frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} = \frac{\frac{f'(\xi)\xi - f(\xi)}{\xi^2}}{-\frac 1{\xi^2}}=f(\xi) - f'(\xi)\xi \)

p.s.: Wegen \(ab>0\) enthält das betrachtete Intervall nicht die Null.

Comments

Anwendung des Mittelwertsatzes auf die Funktion k mit k(x) = x·f(x) ergibt die Existenz eines ξ mit (k(a)-k(b)) / (a-b) = k'(ξ) , also (a·f(a) - b·f(b))/(a-b) = f(ξ) + ξ·f'(ξ) und mein übersehenes Vorzeichen auf der rechten Seite führte mich leider in die Irre und zu meinem obigen Kommentar.

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@hj2166

Ich hatte zu Beginn dieselbe Vermutung.

Erst nachdem ich mit Zettel und Stift die strukturelle Form des MWS erzwungen hatte, war ich überzeugt, dass es doch keine versehentliche Vertauschung war.