Wie bestimme ich mit dem Satz von Rolle weitere Lösungen der Gleichung?

Question

Hallo,
ich habe diese Gleichung 2^x = 1+x² gegeben, mit der 1. Nullstelle ist x₁=0 und die 2. Nullstelle ist x₂=1. (einfaches Ablesen)

Nun möchte ich mithilfe des Satzes von Rolle weitere Nullstellen berechnen, und dafür habe ich die Funktion umgestellt: f(x)=1+x²- 2^x

und die ersten beiden Ableitungen gebildet: f '(x)=2x-ln(2)*2^x und f ''(x)=2-ln(2)²*2^x

So und ab hier scheitert es nun. Ich weiß, wie der Satz von Rolle lautet. Zwischen zwei Nullstellen der Funktion liegt eine Nullstelle der Ableitung und wenn f zweimal differenzierbar ist, dann liegen zwischen drei Nullstellen der Funktion zwei Nullstellen der ersten Ableitung und eine Nullstelle der zweiten Ableitung.

Doch wie bestimme ich weitere reelle Lösungen der Gleichung?

Comments

Es ist f(4) > 0 und f(5) < 0. Daher gibt es im Intervall (4,5) nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine weitere Nullstelle von f. Das ist allerdings nur eine Existenzaussage. Zur numerischen Berechnung empfiehlt sich ein Näherungsverfahren.