Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichung 2cos^{2}(x) - 5cos(x) = -2

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie alle reellen Lösungen der Gleichung

2cos²(x) - 5cos(x) = -2

Answer 1

Hallo Jenny,

2cos²(x) - 5cos(x) = -2

setze z = cosx ,  dann Gleichung + 2

2z² - 5z + 2 = 0     | : 2

z² - 5/2 z + 1  = 0

pq-Formel ergibt  z₁ = 2  ,  z₂ = 1/2

cos(x) wieder für z einsetzen:

cos(x) = 2    keine Lösung, da  -1 ≤ cos(x) ≤ 1

cos (x)  = 1/2

x =  π/3 + k * 2π   oder   x = 5/3 π + k * 2π    mit k∈ℤ

Gruß Wolfgang

Comments

bedeutet * die Potenz ?:)

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* steht für die Multiplikation •

Answer 2

Substituiere \(t:=\cos(x)\)

2t^2-5t=-2

2t^2-5t+2=0

t_{1}=2 v t_{2}=0.5

Danach resubstituieren und Periodizität beachten:

x_{1}=1/3 π+2kπ   ,  k∈ℤ

x_{2}=1/3 * 5π +2kπ  ,  k∈ℤ

Comments

wird bei x1 auch 1/3 mit dem anderen teil multipliziert oder wofür steht bei dir *?

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* steht für das Multiplikationszeichen.

Answer 3

2cos^2(x) - 5cos(x) = -2

Substitution z=cos(x)

2z^2 - 5z + 2 = 0

Mitternachtsformel

z = 2  oder z = 0,5

da cos nur Werte zwischen -1 und 1 hat, also

cos(x) = 0,5

x = pi/3 + n*2pi oder  x = -pi/3 + n*2pi ; n∈ℤ

Comments

Warum ≈ \(\)?

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War ein Versehen. Ich korrigiere.

Answer 4

2cos^2(x) - 5cos(x) = -2  |+2

2cos^2(x) - 5cos(x)  +2  =0 |:2

cos^2(x) - (5/2)cos(x)  +1=0

-> Substitution :z =cos(x)

--> z^2 -(5/2) z +1=0  -->pq-Formel

z1.2= 5/4 ±√ (25/16 -16/16)

z1.2= 5/4 ±3/4

z1= 2

z2=1/2

->Resubstitution:

z=cos(x)

1) cos(x)= 2

2) cos(x)= 1/2

x=..