Satz von Rolle, Anwendung im Beweis

Question

Hallo, Ich beschäftige mich aktuell mit Analysis 1 und komme zu keiner schönen Idee für die folgenden zwei Aufgaben:

a) Sei f ∈ C³(ℝ) und f(0) = f '(0) = f(1) = f '(1) = 0.

Zeigen Sie, dass es ein x ∈ (0,1) gibt mit f '''(x) = 0.

b) Sei g(x) = (x² −1)ⁿ.

Zeigen Sie mit Induktion, dass für k = 0,1,2,...,n die Funktion g^(k) ein Polynom ist, dass mindestens k verschiedene Nullstellen in (−1,1) hat. Beweisen Sie damit, dass g⁽ⁿ⁾ ein Polynom vom Grad n ist, dass alle Nullstellen in (−1,1) hat.

Vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

Liebe Grüße!

Comments

Hallo

 hast du mal die ersten 3 Ableitungen gebildet und die Nullstellen gezählt  und bestimmt , die ungleich +-1 sind? ?

 dann Induktion! Versuch dich dran  und sage wo du scheiterst.

Gruß lul.

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Hallo lul,

deinen Vorschlag habe ich bereits ausprobiert...

natürlich komme ich für g⁽¹⁾ auf eine NS ≠ (-1,1)

für g⁽²⁾  auf zwei NS ≠ (-1,1)

für g⁽³⁾ auf drei NS ≠ (-1,1) und immer so weiter.

Das ist ja auch mein Induktionsanfang... nur wie zeige ich jetzt, dass g^(k+1) mindestens k+1 verschiedene NS in (-1,1) hat? Ich weiß einfach nicht, was ich dort umstellen oder verwenden kann um meine Induktionsvoraussetzung wieder einsetzten zu können? Hast du einen Tipp für mich?

Liebe Grüße

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Hallo

 wenn die k te Ableitung k Nullstellen x_i in (-1,1) hat muss sie die Form (x^2-1)n-k*a*((x-x_1)*(x-x_2)*....(x-x_k)) haben

 daraus dann die (k+1) te Ableitung in der Induktion.

Gruß lul