Integral mittels Approximation-Treppenfunktion

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe einer geeigneten Approximation durch Treppenfunktionen: integral von 1 bis b von \(\frac{1}{x} \)dx=b ln(b)-b+1 mit b>1

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht ganz, wie ich diese Treppenfunktion aufstelle. Ich weiß, dass ich eine Summenformel für 1<q^1<q^2…<q^n<b aufstellen muss, habe allerdings keine Ahnung wie ich daraus das Integral und die Treppenfunktion aufstellen kann. Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Comments

Da stimmt was nicht, denn

$$\int_1^b \ln x \, dx = b\ln b - b + 1 \color{red}\neq \int_1^b \frac 1x\, dx$$

Guckst du hier.

Answer 1

Es geht - wohl - um das Integral \(\int_1^b(1/x)dx\). Wir wählen die Unterteilung \(x_i:=b^{(i/n)}\), \(i=0,1,\ldots n, n \in \N\). Man erhält damit folgende Riemann( -Ober-)summe:

$$\sum_{i=1}^{n}b^{\frac{1-i}{n}}(b^{\frac{i}{n}}-b^{\frac{i-1}{n}})=n(b^{1/n}-1) \to \ln(b) , \quad n \to \infty$$

Den Grenzwert kann man zum Beispiel über die Darstellung mit \(x:=1/n\)

$$\frac{\exp(x \ln(b))-1}{x}$$

und l'Hospital herleiten

Comments

Danke! Das sollte ich hinbekommen