Riemannsummen-Approximation und zugehörige Fehlerabschätzung des Integrals

Question

Es geht um folgende Aufgabenstellung:

Text erkannt:

Wir betrachten Riemannsummen-Approximationen und zugehörige Fehlerabschätzungen des Integrals \( \int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \mathrm{d} x \). Hinweis: Sie dürfen im Folgenden ohne Beweis den Wert \( \int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \mathrm{d} x=1 \) benutzen.
(a) Seien \( n \in \mathbb{N} \) und \( P_{n} \) die äquidistante Zerlegung von \( [0, \pi / 2] \) zur Breite \( \frac{\pi}{2 n} \).
Berechnen Sie \( \frac{U\left(P_{n} ; f\right)+O\left(P_{n} ; f\right)}{2} \) und die Mittelsumme \( S_{M}^{n} \) zu dieser Zerlegung.
Schätzen Sie weiter den Term
\( \left|\int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \mathrm{d} x-\frac{U\left(P_{n} ; f\right)+O\left(P_{n} ; f\right)}{2}\right| \)
\( \mathrm{ab} . \)
(b) Berechnen Sie die exakten Fehler \( \left|\int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \mathrm{d} x-\frac{U\left(P_{n} ; f\right)+O\left(P_{n} ; f\right)}{2}\right| \) und \( \left|\int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \mathrm{d} x-S_{M}^{n}\right| \) für \( n=10, n=20 \) und \( n=40 \).
(c) Vergleichen Sie den exakten Fehler \( \left|\int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin (x) \mathrm{d} x-\frac{U\left(P_{n} ; f\right)+O\left(P_{n} ; f\right)}{2}\right| \) mit der Fehlerabschätzung aus a).

Ich habe folgenden Ansatz:

Da sin(x) auf [0,pi/2] streng monoton wachsend ist, ist die Obersumme gleich der Rechtssumme und die Untersumme gleich der Linkssumme. Ich habe dann die Rechts- und Linkssumme gebildet und durch eine Formel für die Summe von sin(x) bin ich auf einen Quotienten gekommen mit einem Sinus mal Sinus im Zähler und einem Sinus im Nenner. Doch ich habe keine Ahnung wie ich fortfahren soll, da wenn ich den Grenzwert bilde ich durch 0 teilen müsste, weil ich im Argument des Sinus ein /n stehen habe.

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Comments

Wenn ich Dich richtig verstehe, hast Du die Unter- und Obersumme exakt berechnet? Ich hätte den Text so verstanden, dass Du diese Summen numerisch berechnen sollst?

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Exakt berechnet habe ich es nicht, ich habe nur eine Formel die von n abhängig ist.

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Zeig doch mal

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Hallo

nach einem GW ist doch gar nicht gefragt, sondern nur nach einer Fehlerabschätzung mit den gegebenen n?

lul

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Hallo lul,

Ja das stimmt, jedoch muss ja trotzdem der Grenzwert der Ober- und Untersumme gegen \( \int\limits_{0}^{π/2} \)sin(x)dx konvergieren. Ich wollte damit nur meinen Weg überprüfen und es war auch ein wenig aus Neugier.

Casio991

Answer 1

Die Obersumme berechnet sich zu $$ O_n = \sum_{i=1}^n \Delta \sin(i \Delta) = \frac { \Delta \sin \left( n \frac{\Delta}{2} \right) \sin\left(  (n+1) \frac{\Delta}{2} \right) } { \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right) }$$ und die Untersumme zu

$$ U_n = \sum_{i=1}^n \Delta \sin(i \Delta) = \frac{ \Delta \sin \left( n \frac{\Delta}{2} \right) \sin\left(  (n-1) \frac{\Delta}{2} \right) } { \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right) }$$

Also $$ \frac{O_n + U_n}{2} = \frac{1}{2} \frac{\Delta}{\sin\left( \frac{\Delta}{2} \right)}  \sin\left( n \frac{\Delta}{2} \right)  \left[ \sin\left(  (n+1) \frac{\Delta}{2} \right) + \sin\left(  (n-1) \frac{\Delta}{2} \right) \right] $$

Weil \( \Delta = \frac{ \pi }{2n } \) ist und wenn man den Sinus bis zur ersten Ordnung entwickelt folgt

$$ \frac{O_n + U_n}{2} \approx \frac{1}{2} \frac{\Delta}{\sin\left( \frac{\Delta}{2} \right)} 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{ \frac{\Delta}{2} }{ \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right) } $$

Jetzt kann man das Integral wie folgt abschätzen

$$ \left| \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) dx - \frac{O_n + U_n}{2} \right| = \left| 1 - \frac{ \frac{\Delta}{2} }{ \sin\left( \frac{\Delta}{2} \right) }  \right| \approx \left| 1 - \frac{ 96 n^2 }{ 96 n^2 - \pi^2 } \right| $$

Comments

Die letzte Abschätzung geht nicht gegen 0?

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Hatte da die 1 vergessen. Habe ich korigiert.

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Hallo ullim,

Ich habe noch zwei Fragen. Die erste ist bezüglich der Abschätzung des Term in den eckigen Klammern: Nehmen wir an, dass wenn n sehr groß wird, dass man dann die + und - 1 in dem Argument des Sinus „vernachlässigen“ kann oder wie wird da sonst Folgendes draus: 2sin²(π/4)?

Und zweitens wie wird aus dem Ausdruck in dem Betrag hinter dem Minus 96n²/(96n²-π²)?

Trotzdem vielen Dank für deine Lösung!

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$$ \sin \left[ (n+1) \frac{\Delta}{2} \right] \approx \sin\left( n \frac{\Delta}{2} \right) + \frac{\Delta}{2} \cos\left( n \frac{\Delta}{2} \right) $$ Taylorreihe 1. Ordnung

$$ \sin \left[ (n-1) \frac{\Delta}{2} \right] \approx \sin\left( n \frac{\Delta}{2} \right) - \frac{\Delta}{2} \cos\left( n \frac{\Delta}{2} \right) $$ und damit

$$ \sin \left[ (n+1) \frac{\Delta}{2} \right] + \sin \left[ (n-1) \frac{\Delta}{2} \right] \approx 2 \sin\left( n \frac{\Delta}{2} \right) = 2 \sin\left(  \frac{\pi}{4} \right) $$

Verwende die Taylorreihe für \( \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} \) mit \( x = \frac{\Delta}{2} = \frac{\pi}{4n}\) dann folgt

$$ \frac{x}{\sin(x)} \approx \frac{x}{x-\frac{x^3}{6}} = \frac{6}{6-x^2} $$ und nun den Wert für \( x \) einsetzen.