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Aufgabe:

Das Polynom p x = 2 x3 6 x 4 ist vom Grad 3 und besitzt den Leit-Koeffizienten a3 = 2 .


Seinen Graphen koennen wir qualitativ skizzieren, wenn wir fuer p x eine Faktor-Zerlegung
angeben. Es gilt:

blob.png

Text erkannt:

\( p(x)=2 x^{3}-6 x-4=2 \cdot(x+1)^{2} \cdot(x-2) \approx 2 x^{3} \) fuer grosse \( |x| \) (asymptotisches Verhalten)

In dieser Darstellung ist der Zahlen-Faktor 2 der Leit-Koeffizient. Der Linear-Faktor x 1

besitzt die Vielfachheit 2 . Wir sprechen von einer doppelten Nullstelle x1 = x2 = 1. Zum Linear-
Faktor x 2 gehoert die Vielfachheit 1 , also die einfache Nullstelle x3 = 2 . Mehrfache
Nullstellen sind analog definiert.
Wir diskutieren nun den Einfluss der Vielfachheit einer Nullstelle auf das lokale Verhalten des
Graphen von p x in der Naehe dieser Nullstelle.


blob.png

Text erkannt:

Die Nullstelle \( x_{1}=-1 \) besitzt die Vielfachheit Fig.3: qualitativer Graph mit lokalen
2 . Fuer \( x \approx-1 \)
Approximationen
erhalten wir die lokale Approximation:

Copyright -> ZHAW, Schweiz Analysis 1 (Informatik)



Problem/Ansatz

Ich verstehe, wie die Funktion entstehen und wie ich mit dem Graphen den Funktionsparameter erstellen kann, jedoch stellt sich mir die Frage, wie ich auf die -6 und -18 komme.



Ich denke das es einen einfachen Grund hat, jedoch habe ich dieses Skript im Internet gefunden für die eigenständige Vorbereitung auf das erste Semester und konnte noch keine Vorlesung besuchen.

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Das Polynom p x = 2 x3 6 x 4 ist vom Grad 3 und besitzt den Leit-Koeffizienten a3 = 2

Echt jetzt?

1 Antwort

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Beste Antwort

f(x) = 2 * (x + 1)^2 * (x - 2)

Nun wenn du es an der Stelle x = -1 approximieren willst gilt etwa

p1(x) = 2 * (x + 1)^2 * (- 1 - 2) = - 6 * (x + 1)^2

Für die Stelle x = 2 gilt näherungsweise folgendes

p2(x) = 2 * (2 + 1)^2 * (x - 2) = 18 * (x - 2)

Ist das so verständlich?

Skizze

~plot~ 2x^3-6x-4;-6*(x+1)^2;18*(x-2);[[-6|6|-9|9]] ~plot~

Avatar von 489 k 🚀

Vielen Dank!!!

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