Approximation um x herauszufinden...

Question

Aufgabe:

Zahl die dem fünffachen ihres ln entspricht

Problem/Ansatz:

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe.

Ich soll eine Zahl bestimmten welche = dem fünffachen ihres ln entspricht. Ansatz wäre über die Approximation.

Leider komme ich aber nicht mal zu einem ersten Schritt.

Würde mich über ein paar Rückmeldungen freuen!

Answer 1

Hallo,

Leider komme ich aber nicht mal zu einem ersten Schritt.

Die Zahl sei \(x\) ..

... welche = dem fünffachen ihres ln entspricht

$$x = 5\ln(x)$$

Für ein beliebiges \(x\) wäre dann die Abweichung $$f(x) = x - 5 \ln(x)$$Da bietet sich das Newton-Verfahren an, wozu wir noch die Ableitung brauchen$$f'(x) = 1 - \frac 5x$$Starten wir mal bei \(x_0=10\):$$\begin{array}{c|cc}x& f(x)& f'(x)\\ \hline10& -1.512925465& 0.5\\ 13.02585093& 0.19117135& 0.616147918\\ 12.71558233& 0.00144135& 0.606781674\\ 12.71320693& 8.7256E-08& 0.606708203\\ 12.71320679& 0& 0.606708199\end{array}$$Das ist aber nicht die einzige Lösung:$$\begin{array}{c|cc}x& f(x)& f'(x)\\ \hline 1& 1& -4\\ 1.25& 0.134282243& -3\\ 1.294760748& 0.003131111& -2.861717316\\ 1.295854885& 1.78427E-06& -2.858456729\\ 1.295855509& 5.80203E-13& -2.85845487\\ 1.295855509& 0& -2.85845487\end{array}$$Schau Dir dazu noch den Graphen an:

~plot~ x;5*ln(x);[[-1|14|-2|15]] ~plot~