Äquivalenzrelation zeigen auf N

Question

Text erkannt:

b) Sei
\( C:=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}:(\exists k \in \mathbb{Z}: m-n=7 k)\} . \)

Zeigen Sie, dass \( C \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb{N} \) ist.

Answer 1

reflexiv: Da musst du zeigen:  Für alle x ∈ ℕ gilt (x,x)∈C.

Dazu ist zu prüfen, ob es für x-x ein k∈ℤ gibt mit x-x=7*k.

Das gelingt mit k=0.

symmetrisch: Wenn (x,y)∈C dann auch (y,x)∈C.

Stimmt; denn wenn x-y=7*k dann y-x=7*(-k).

Und mit k∈ℤ ist auch -k ∈ℤ.

Jetzt schaffst du auch "transitiv".