Bestimmen Sie die Produktform (Linearfaktorzerlegung).

Question

Aufgabe: Von der algebraischen Gleichung 4. Grades
z^4 − 4z^3 − 2z^2 + 12z − 16 = 0
ist eine der insgesamt vier Lösungen bekannt: z1 = 1 + j (führen Sie den Nachweis). Wo liegen
die übrigen Lösungen? Bestimmen Sie die Produktform (Linearfaktorzerlegung).

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich bin in der klausurenphase und meine frage wäre wie fängt man hier ganz genau an und auf was müsste ich achten....

Answer 1

Abspalten des nun bekannten ersten Linearfaktors mit Polynomdivision (oder Horner-Schema).

Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten nicht-reelle Nullstellen (wie die hier vorgegebene) stets paarweise konjugiert-komplex auf. Also ist 1-j ein weitere Nullstelle. Nach Abspalten auch dieser ist man runter auf Grad 2, da greifen die üblichen Techniken zur Nullstellenbestimmung.

Statt erst zweimal abzuspalten kann man auch gleich (z-(1+j))(z-(1-j)) abspalten, falls man damit klarkommt.

Answer 2

Nachweis, dass es eine Lösung ist:

Betrachte (1+j)^2 = 2j. Dann gibt das

(1+j)^4 -4(1+j)^3 -2(1+j)^2 +12(1+j) - 16

= (2j)^2 -4*(2j)*(1+j) -2*(2j)+12(1+j) - 16

=-4    -8j(1+j) -4j + 12 + 12j - 16

=-8     -8j+8 -4j + 12j  = 0 ✓

Und dann das konjugierte, also für 1-j

= (-2j)^2 -4*(-2j)*(1-j) -2*(-2j)+12(1-j) - 16

= -4  +(8j)*(1-j) +4j+12-12j - 16

= -4  +8j+8 +4j+12-12j - 16 = 0 ✓

Die beiden zugehörigen Linearfaktoren ergeben z^2 - zx +2

Und damit Polynomdivision gibt

z^2 - 2z -8

gibt gleich 0 gesetzt die Lösungen -2 und 4, also Produktform

(z+2)(z-4)(z-1-j)(z-1+j)

Answer 3

Wenn bei einem Polynom alle Koeffizienten reelle Zahlen ist das komplex konjugierte einer Nullstelle auch eine Nullstelle.

Damit kannst du (z - (1 + j))·(z - (1 - j)) = z^2 - 2·z + 2 durch eine Polynomdivision abspalten.

(z^4 - 4·z^3 - 2·z^2 + 12·z - 16)/(z^2 - 2·z + 2) = z^2 - 2·z - 8

Damit ist auch der Nachweis erbracht, dass dies auch Nullstellen waren, denn ansonsten würde die Polynomdivision nicht ohne Rest aufgehen.

Daraus ermitteln wir jetzt die restlichen 2 Nullstellen über die Vieta, pq-Formel, etc.

z^2 - 2·z - 8 = 0 --> z = 4 ∨ z = -2

Dann können wir die Produktform notieren

z^4 - 4·z^3 - 2·z^2 + 12·z - 16 = (z - (1 + j))·(z - (1 - j))·(z - 4)·(z + 2)

Answer 4

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die ganzzahligen Lösungen von$$f(z)=z^4-4z^3-2z^2+12z-\pink{16}\stackrel!=0$$müssen die Zahl ohne \(z\), also die pink gefärbte \(\pink{16}\), ohne Rest teilen. Die Teiler von \(\pink{16}\) sind:$$\pm1,\pm2\,\pm4\,\pm8\,\pm16$$Wir setzen diese Werte zum Testen ein und finden zwei ganzzahlige Nullstellen:$$\green{z_1=-2}\quad;\quad \green{z_2=4}$$Wir können das Polynom \(f(z)\) also durch \((x+2)(x-4)\) dividieren:$$f(z)=(z+2)(z-4)(\pink{z^2-2z+2})$$

Die Nullstellen des verbliebenen pinken Polynoms liefert die pq-Formel:$$z_{3;4}=1\pm\sqrt{1-2}=1\pm\sqrt{-1}\stackrel{(i^2=-1)}{=}1+\pm\sqrt{i^2}=1\pm i\implies$$$$\green{z_3=1-i\quad;\quad z_4=1+i}$$

Damit haben wir auch die gesuchte Zerlegung gefunden:$$f(z)=(z+2)\cdot(z-4)\cdot(z-(1-i))\cdot(z-(1+i))$$