Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner

Question

Aufgabe:

Zeige mittels Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner, dass die gegebene Funktion f durch die Funktion g mit der Gleichung g(x) = (- 2/3) x * 1/(x-2) mit Dg = R, x≠2 ersetzt werden kann

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand, diese Aufgabe Schritt für Schritt vorrechnen? Ich habe die Lösung, doch ich weiß nicht, wie man darauf kommt.

Dankeschön :)

Aufgabe 3.4.

Zeigen Sie mittels Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner, dass die gegebene Funktion \( f \) durch die Funktion \( g \) mit der Gleichung \( \mathbf{g}(\mathbf{x})=-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}-2} \) mit \( \mathrm{D}_{\mathrm{s}}=\mathrm{R} \backslash\{2\} \) ersetzt werden

Comments

Ich sehe keine Funktion f.

Answer 1

3.4

f(x) = (2·x^2 + 6·x)/(- 3·x^3 - 3·x^2 + 18·x)

f(x) = (2·x·(x + 3))/(- 3·x·(x^2 + x - 6))

f(x) = (2·x·(x + 3))/(- 3·x·(x + 3)·(x - 2))

Wir kürzen durch x und durch (x + 3).

f(x) = (2)/(- 3·(x - 2)) = - 2/3·1/(x - 2)

Answer 2

Ich rekonstruiere mal die Aufgabe.

3. Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \( f \) durch die Gleichung

 \( f(x)=\dfrac{2 x^{2}+6 x}{-3 x^{3}-3 x^{2}+18 x} \) mit \(x \in D_{f} \) .

3.4 Zeigen Sie mittels Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner, dass die gegebene Funktion \( f \) durch die Funktion \( g \) mit der Gleichung \( \mathbf{g}(\mathbf{x})=-\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}-2} \) mit \( \mathrm{D}_{\mathrm{s}}=\mathrm{R} \backslash\{2\} \) ersetzt werden kann.

Schreib den Zähler als 2x(x+3).
Im Nenner kannst du zuerst -3x ausklammern.
-3x(x^2+x-6)
Nun musst du den Klammerterm in Linearfaktoren zerlegen. Dazu bestimmst du die Nullstellen x=2 und x=-3 z.B. mit der pq-Formel.
-3x(x^2+x-6)=-3x(x-2)(x+3)
Bei den beiden fett gedruckten Termen siehst du, dass durch x(x+3) gekürzt werden kann.
Übrig bleibt \(-\dfrac{2}{3(x-2)} \)