Funktion f(x)= (2x^3-6x+4) / (x^2+3x+2) : Nullstellen, Polstellen und Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner

Question

Leider komme ich mit Funktionen nicht kalr und weiß nicht wie ich vorgehen soll. wärt Ihr so nett und würdet mir zeigen wie ich rechnen soll? Polynome sind mir zu kompliziert vor allem Faktorzerlegung, NST und Polstellen berechen. wäre nett wenn ihr es vorrechnen könnt. danke vielmals im voraus:)

Zerlegen Sie den Zähler und Nenner der Funktion
f(x)= (2x^3-6x+4) / (x^2+3x+2)  in Linearfaktoren.

Bestimmen Sie von der Funktion f
- den Definitionsbereich
- alle Nullstellen
- alle Polstellen mit / ohne Vorzeichenwechsel
- alle hebbaren Unstetigkeiten
- die Grenzwerte für x gegen unendlich und gegen minus unendlich
- die Asymptoten für x gegen unendlich.
Skizzieren Sie anschließend die Funktion, so dass alle berechneten Eigenschaften
erkennbar sind.

Answer 1

Polstellen

Das ist eine quadratische Gleichung im Nenner. Also ganz schnell mit der pq-Formel zu berechnen:

$$ x_{1,2}=\frac{-3}{2} \pm\sqrt{\Big(\frac{3}{2}\Big)^2-2}=\frac{-3}{2} \pm\sqrt{\Big(2,25-2}=-1,5\pm 0,5\\x_1=-2\quad x_2=-1 $$

Das sind dann die Polstellen, also die Stellen, wo f einen Sprung im Definitionsbereich hat.

Nullstellen

Ansatz f(x)=0

$$ 0=\frac{2x^3-6x+4}{x^2+3x+2}\quad |\cdot(x^2+3x+2)\\ \Rightarrow 0=2x^3-6x+4$$

Jetzt Polynomdivision durchführen. Dafür erste Nullstelle raten. x1=1 ist eine.

$$ (2x^3-6x+4):(x-1)=x^2+x-2=(x-1)(x+2) $$

$$ x_1=1\quad x_2=-2 $$

Comments

ja, das im nenner ist nicht so schwer,doch das im Zähler kann ich nicht ? weißte wie das geht?

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Hab grad meine Antwort erweitert. Da siehst du auch, wie man dort dran geht.