Nullstellen, Polstellen usw. von f(x) = (x^2 + 3x + 2)/( x^3 - 2x^2 - 3x)

Question

Guten Tag , ich komme hier nicht weiter.

Gesucht : die Funktion hat an der Stelle 

X=-3 

X=-2

X=-1 

X=0

X=1 

X=2

X=3 

Danke für die Hilfe 

Answer 1

1 Schritt: Faktorisiere Zähler und Nenner vollständig.

Tipp. Hier zumindest mal die Klammern auflösen, damit du sicher bist, ob der Tipp stimmt. 

Zähler x^2 + 3x + 2 = (x+2)(x+1)

Nenner x^3 - 2x^2 - 3x = x(x-3)(x+1)

2. Schritt: Weiter überlegen. 

Answer 2

(x^2+3x+2) = (x+1)(x+2)

x^3- 2x^2-3x = x(x^2-2x-3) = (x-3)(x+1)

(x+1) lässt sich wegkürzen --> hebbare Lücke bei x= -1

Comments

Morgen Andreas,
kleiner Fehlerhinweis. Es fehlt ein x.
x^3- 2*x^2-3*x = x(x^2-2*x-3) = (x-3)(x+1)
Richtig
x^3- 2*x^2-3*x = x(x^2-2*x-3) = x*(x-3)(x+1)

Answer 3

Durch Faktorisierung ergibt sich

( x +1) * ( x + 2 )
--------------------
x * ( x-3 ) * ( x+1 )

Nullstellen : der Zähler ist 0 :

x = -1
( wird noch gesondert untersucht )
x = -2

Polstellen bzw. hebbare Lücken

( x + 1 ) ist kürzbar : hebbare Lücke
x - 3 = 0 =>  x = 3 : Polstelle
x  = 0 => Polstelle

( x + 1 ) / ( x + 1 ) für x = -1 : 0 / 0
L´Hospital
( x + 1 ) ´ / ( x + 1 ) ´ = 1 / 1 = 1
für x = -1
f ( x ) = ( x + 2 ) / [ x *  ( x - 3 ) ] * 1

f ( -1 ) = ( -1 + 2 ) / [ -1 *  ( -1 - 3 ) ]
f ( -1 ) = 1 / ( 4 )
( -1 | 1/4 ) keine Nullstelle

Answer 4

ich komme hier nicht weiter.

Einsetzen in Zähler und Nenner und Ergebnisse interpretieren wäre hier ein angemessener und kurzer Weg:

x = -3  
Polstelle, da nur der Nenner null wird 

x = -2  
Nullstelle, da nur der Zähler null wird

x = -1  
hebbare Unstetigkeit, da Zähler und Nenner null
werden und beide Nullstellen einfach sind

x = 0  
Polstelle, da nur der Nenner null wird 

x = 1  
keine der drei Alternativen, da
weder Zähler noch Nenner null werden

x = 2  
keine der drei Alternativen, da
weder Zähler noch Nenner null werden

x = 3   
Polstelle, da nur der Nenner null wird

Da der Term recht einfach ist, würde ich eine Faktorisierung bevorzugen, jedoch ist der vorgestellte Weg auch noch bei weniger einfachen Umständen gangbar.