Auswirkungen von geraden bzw. ungeraden Exponenten der Randfunktion f

Question

Aufgabe: Gegeben ist eine ganzrationale Funtion f, zu der es eine Stammfunktion gibt. Begründen Sie.

a) Wenn f nur gerade Exponenten hat, so gilt ª∫_-a f(x)dx=2ª∫₀ f(x)dx.

b) Wenn f nur ungerade Exponenten hat, so gilt ª∫_-a f(x)dx=0

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht, welche Auswirkungen gerade bzw. ungerade Exponenten der ganzrationalen Funktion f haben. Kann mir da jemand helfen, das wär super, danke!

Answer 1

Gerade Exponenten: der Graph ist achsensymmetrisch zur x-Achse.

Ungerade Exponenten: der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Was bedeutet das für das Integral? Skizze hilft. Und was bedeuten die Symmetrien formal? Also \( f(-x) =... \)

Comments

Ahh ja okay danke <33

Answer 2

Aloha :)

Hat eine ganzrationale Funktion \(f(x)\) nur gerade Exponenten, gilt: \(\pink{f(-x)=f(x)}\).

Denn für gerade Exponenten gilt ja: \((-x)^2=x^2\), \((-x)^4=x^4\), \((-x)^6=x^6\), ...

Die Funktion \(f(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Für das Integral einer solchen Funktion gilt:$$I=\int_{-a}^af(x)\,dx=\int\limits_0^a(\,f(x)+\pink{f(-x)}\,)\,dx=\int\limits_0^a(\,f(x)+\pink{f(x)}\,)\,dx=2\int\limits_0^a f(x)\,dx$$

Hat eine ganzrationale Funktion \(f(x)\) nur ungerade Exponenten, gilt: \(\green{f(-x)=-f(x)}\).

Denn für ungerade Exponenten gilt ja: \((-x)^1=-x^1\), \((-x)^3=-x^3\), \((-x)^5=-x^5\), ...

Die Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch zum Urpsrung.

Für das Integral einer solchen Funktion gilt:$$I=\int_{-a}^af(x)\,dx=\int\limits_0^a(\,f(x)+\green{f(-x)}\,)\,dx=\int\limits_0^a(\,f(x)\green{-f(x)}\,)\,dx=0$$

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Vielen Dank!