Sei R ein Ring mit |R|=p. Ist R kommutativ? Ist R unitär?

Question

Aufgabe:

Sei \( R \) ein Ring mit \( |R|=p \in \mathbb{P} \). Ist \( R \) kommutativ? Ist \( R \) unitär?

Ansatz:
Diese Aufgabe ist mir noch nicht ganz klar - ich habe mir jetzt einmal folgendes gedacht:

Wenn \( R \) ein endlicher Ring mit \( p \) Elementen ist, wobei \( p \) eine Primzahl ist, dann ist \( R \) unitär (\( 1 a=a 1=a \) für alle \( a \) in \( R \)). Die Kommutativität (\( R \) ist kommutativ, wenn für alle \( a, b \) in \( R \) gilt: \( a b=b a \)) von \( R \) hängt von den spezifischen Eigenschaften der Multiplikation in \( R \) ab und kann nicht direkt aus der Information über die Ordnung von \( R \) abgeleitet werden.

Ist meine erste Überlegung soweit richtig und wie kann ich das präzisieren?

LG Euler

Answer 1

Sei \( R \) ein Ring mit \( |R|=p \in \mathbb{P} \).

Dann ist die additive Gruppe des Rings zyklisch, wird also von einem \(r\in R\) erzeugt. Mit \(a = \sum_{i=1}^{n}r\) und \(b=\sum_{j=1}^{m}r\) ist

        \(\begin{aligned} & a\cdot b\\ = & \left(\sum_{i=1}^{n}r\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^{m}r\right)\\ = & \sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n}r\right)r\\ = & \sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n}r^{2}\right)\\ = & \sum_{i=1}^{m\cdot n}r^{2}\end{aligned}\)

also ist \(R\) kommutativ.

Comments

Danke für deine Antwort oswald - das mit der Kommutativität ist mir nun klar :)

R ist somit also kommutativ und unitär?

LG Euler

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Wenn \( R \) ein endlicher Ring mit \( p \) Elementen ist, wobei \( p \) eine Primzahl ist, dann ist \( R \) unitär

Begründung fehlt.

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Begründung fehlt

Könnte ich das so begründen:

Sei \( a=\sum \limits_{i=1}^{n} r \), wobei \( r \) das generierende Element der additiven Gruppe von \( R \) ist.

\( a \cdot x=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} r\right) \cdot x=\sum \limits_{i=1}^{n} r \cdot x=\sum \limits_{i=1}^{n} r=a \)
und
\( x \cdot a=x \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} r\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} x \cdot r=\sum \limits_{i=1}^{n} r=a \)

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Was ist \(x\)?

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Was ist \(x\)?

Ein beliebiges Element in R (ich habe hier versucht damit zu arbeiten, dass r ein Erzeuger ist und die additive Gruppe zyklisch ist)

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Wenn \(x\) ein beliebiges Element aus \(R\) ist, dann gibt es keinen Grund zu der Aussage, dass

        \(\sum \limits_{i=1}^{n} r \cdot x=\sum \limits_{i=1}^{n} r\)

ist.

Ist zum Beispiel \(R=\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\), \(n=2\), \(r=[1]_{17}\), \(x=[3]_{17}\), dann ist

        \(\sum \limits_{i=1}^{n} r \cdot x = [6]_{17}\)

aber

        \(\sum \limits_{i=1}^{n} r = [2]_{17}\neq [6]_{17}\).