Wie kann ich zeigen dass Durchschnittskosten und Grenzkosten sich im Minimum schneiden?

Question

Aufgabe:

Die Firma „Beckham" stellt Fußbälle her. Sie ist einerseits mit vielen Konkurrenten, andererseits aber auch mit sehr vielen potentiellen Konsumenten konfrontiert.
Die kurzfristige Kostenfunktion von Beckham lautet:
C(q) = 10 + 4q + q^2/4 
wobei C... Gesamtkosten, q... Outputmenge
Die Nachfragefunktion Fußbällen läßt sich linear wie folgt schätzen:
q(p) = 16-2p
wobei p... Preis für einen Fußball

Die beiden Fragestellungen habe ich verstanden:

b) Welche Menge an Fußbällen wird Beckham zu welchem Preis auf dem o.a. Markt vollständiger Konkurrenz anbieten?
c.Man soll die langfristige Preisuntergrenze ermitteln. Wird das Unternehmen zum unter b. ermittelten Produktpreis anbieten?

Aber wie kann ich das zeigen:
man sollte anhand des Beispiels zeigen, daß die Grenzkosten die Durchschnittskosten im Minimum schneiden! muss ich da die beiden gleichsetzen oder wie kann ich es zeigen?

Problem/Ansatz:

i

Answer 1

Aber wie kann ich das zeigen:
man sollte anhand des Beispiels zeigen, daß die Grenzkosten die Durchschnittskosten im Minimum schneiden! muss ich da die beiden gleichsetzen oder wie kann ich es zeigen?

Grenzkosten

(C(q)/q)' = 1/2q +4

Durchschnittskosten: C(q)/q = 10/q +4+ q/4

C'(q) = 0

-10/q^2+1/4 = 0

-10/q^2 = -1/4

q^2 = 40

q = √40

1/2*q+4= 10/q+4+q/4

1/4*q= 10/q

q^2= 40

q= √40 q.e.d.

Comments

C'(q) = 0

-10/q2+1/4 = 0

Falsch. Es muss hier \( \left(\frac{C(q)}{q}\right)'=0 \) heißen.

Answer 2

Das kann man auch allgemein zeigen. Berechne mit Ketten- oder Produktregel die Ableitung der Durchschnittskosten allgemein und setze gleich 0 (notwendige Bedingung für Minimum):

\( \left(\frac{C(q)}{q}\right)'= \frac{C'(q)} {q}-\frac{C(q)}{q^2}=0\)

Multiplikation mit \( q \neq 0 \) liefert

\( C'(q)= \frac{C(q)}{q} \).

Das bedeutet jetzt aber, dass alle \( q \), die die notwendige Bedingung für Extrema der durchschnittlichen Kosten erfüllen auch die letzte Gleichung erfüllen müssen. Diese liefert aber gerade die Schnittstellen von Grenzkosten und durchschnittlichen Kosten. Also schneiden sich Grenzkosten und durchschnittliche Kosten im Minimum.