Wie löst man das? Polynomdivision mit Rest

Question

brauche HIlfe !

a) Teile die Polynome A=6x⁶-2x⁵-4x³+3x+3 mit Rest und B=2x³+2x-3

b) Teile die Polynome C=x³+x²+x+1 mit Rest durch D=2x+1. HInweis: Dabei werden  Brüche auftauchen

mfg Michael

Comments

Das geht genau gleich wie 'Polynomdivision ohne Rest'. Du hast links einfach nicht 0 als Rest.

Was dort bleibt, schreibst du als Rest: .....  neben das Resultat.

Die Rechnung sollte genau wie hier aussehen: https://www.mathelounge.de/93759/polynomdivision-x-4-13x-2-36-x-2-richtig-gelost

Du musst aufhören bevor du im Resultat x hoch eine negative Zahl bekommst.

Damit ist das (hoffentlich) keine Hexerei mehr:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

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Ich bin hier auf folgender Aufgabe wieder stecken geblieben brauche wiedermal Hilfe)):

Satz: Seien A und B ≠ 0 beliebige Polynome, dann gibt es eindeutige POlynome Q und R

mit A = QB + R und deg R ∠ deg B.
Aufgabe: Beweise die Eindeutigkeitsaussage obigen Satzes ?

Was passiert eigentlich, wenn man ein Polynom P mit Rest durch ein Polynom R teilt,

wobei schon am Anfang  deg P ∠ deg Q gilt ? (ergibt es überhaupt Sinn?)

Funktioniert der Algorithmus dann ?

Was ist der analoge Fall bei ganzen Zahlen und gewöhnlicher schriftlicher Division mit Rest ?

mfg Michael

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Ich brauche eigentlich nur ein Beispiel

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 deg P ∠ deg Q.

Was meinst du denn mit P?

Polynomdivision mit Rest vgl:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/

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P ist in dem Fall der Divident))

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Ok. im Satz ist somit A das P und B das Q.

Satz: Seien A und B ≠ 0 beliebige Polynome, dann gibt es eindeutige POlynome Q und R

mit A = QB + R und deg R ∠ deg B.

Fall deg A < deg B

Q ist das Nullpolynom und R = A

Fall deg A ≥ deg B

Polynomdivision anwenden.

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Und wie schon steht: was ist der analoge Fall bei ganzen Zahlen und gewöhnlicher schriftlicher Division mit Rest ?

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Schriftliche Division mit Rest betrachte die Abbildung der Division hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division

1307 : 15 = 87
Statt Nullen runterzunehmen hätte man Rest 2

D.h.
1307 = 87*15 + 2

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Ah nee, entschuldigung... Das war was anderes. Bei A = QB + R und deg R

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War eine Aufgabe dazu)) :

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Beweise die Eindeutigkeitsaussage

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Was passiert eigentlich, wenn man zwei Polynome P & Q mit Rest durcheinander teilt, wenn man schon deg P < deg Q weiss ?

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Ergibt es überhaupt Sinn ? Funktioniert der Algorithmus dann ?

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Und was ist der analoge Fall bei ganzen Zahlen und gewöhnlicher schriftlicher Division mit Rest ?

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Ups, korrigiere: was passiert eigentlich, wenn man ein Polynom P mit Rest durch ein Polynom R teilt, wobei schon am Anfang an deg P < deg Q gilt ?

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P und R sind in dem Fall Polynome und Q der Quotient.

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EDIT: Frage ist nun auf die beantwortete Frage umgeleitet.

Answer 1

 A=6x⁶-2x⁵-4x³+3x+3 mit Rest und B=2x³+2x-3

 (6x⁶-2x⁵-4x³+3x+3) : (2x³+2x-3) = 3x^3   -  x^2 - 3x + 7/2 Rest 3x^2    - 13x  + 27/2

-(6x^6 + 6x^4 - 9x^3)
--------------------------------
-2x^5  -6x^4  + 5x^3 + 3x + 3
-(-2x^5    -2x^3 + 3x^2)
----------------------------------------
        -6x^4 + 7x^3 - 3x^2 + 3x + 3
        -(-6x^4             -6x^2     + 9x)
-------------------------------------------
                     7x^3  + 3x^2     - 6x + 3
                  -(7 x^3                  + 7x - 21/2)
---------------------------------------------------
                                3x^2    - 13x  + 27/2

Selbst nachrechnen und korrigieren!
 

Comments

Ich habe das gleiche rausbekommen. Kann man das auch mit A = B*Q + R

(A = B*Quotient+Rest)  machen ?

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(6x⁶-2x⁵-4x³+3x+3) : (2x³+2x-3) = 3x³   -  x² - 3x + 7/2 Rest 3x²    - 13x  + 27/2 

Kannst du schreiben als

(6x⁶-2x⁵-4x³+3x+3) = (2x³+2x-3) *(3x³   -  x² - 3x + 7/2) +  3x²    - 13x  + 27/2 

Grund:

25 : 4 = 6 Rest 1       bedeutet

25 = 4*6 + 1

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Ja also das weiß ich schon, ich meinte was anderes aber trotzdem danke :)

Answer 2

Hier die Lösung zum Vergleich. Aber bitte auch versuchen diese nachzuvollziehen.

Comments

Entschuldigung, bei der 2. Polynomdivision habe ich ein x im Zähler unterschlagen.