Welches Konsumbündel (x1,x2) minimiert das Budget bei Erreichung des vorgegebenen Nutzenniveaus?

Question

Aufgabe:

Ein Haushalt konsumiert 2 Güter und weist folgende Nutzenfunktion auf:

U(x1,x2) = 2* x¹/4 * x2 ¹/3 
Ein Nutzenniveau von U = 100 soll erreicht werden. Die Preise der Güter betragen p1 = 2€ und p2 = 3€.

Problem/Ansatz:

Welches Konsumbündel (x1,x2) minimiert das Budget bei Erreichung des vorgegebenen Nutzenniveaus?

bei mir kommt da für x1= 1.266 und x2= 32,49 heraus,stimmt das?

und wie kann ich berechnen, um zu wissen welche Kosten ausfallen?

Comments

U(x1,x2) = 2* x¹/4 * x2 ¹/3

Was Du meinen? Vielleicht

U(x₁, x₂) = 2x₁^1/4 * x₂^1/3

?

Und wie kann man auf ein kostenminimales Konsumbündel kommen ohne zu wissen, was dann die Kosten sind? Wie man die Kosten ausrechnet, steht im letzten Satz der Aufgabe.

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es darum, eine Preisfunktion $f(x;y)$ unter einer konstanten Nebenbedinung $U(x;y)$ zu optimieren:$$f(x;y)=2x+3y\to\text{Minimum}\quad;\quad U(x;y)=2x^{1/4}y^{1/3}\stackrel!=100=\text{const}$$

Ohne die konstante Nebenbedingung setzt du den Gradienten der zu optimierenden Funktion $f(x;y)$ gleich $\vec 0$, um die kritischen Punkte zu bestimmen. Wenn konstante Nebenbedingungen dazu kommen, wird der Nullvektor $\vec 0$ durch eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen ersetzt. Da es hier nur eine konstante Nebenbedingung gibt, heißt also die Forderung an die kritischen Punkte:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}U(x;y)\quad;\quad\lambda\ne0$$Der sogenannte Lagrange-Multiplikator $\lambda$ darf nicht gleich $0$ sein, weil wir sonst den erstgenannten Fall ohne konstante Nebenbedingung berechnen würden.

Wir bilden die Gradienten und schauen mal, was rauskommt:$$\binom{2}{3}=\lambda\binom{2\cdot\frac14x^{-3/4}y^{1/3}}{2x^{1/4}\cdot\frac13y^{-2/3}}=\lambda\begin{pmatrix}\large\frac{2x^{-3/4}y^{1/3}\cdot\pink x}{4\cdot\pink x}\\[1ex]\large\frac{2\cdot x^{1/4}y^{-2/3}\cdot\pink y}{3\cdot\pink y}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\large\frac{2x^{1/4}y^{1/3}}{4x}\\[1ex]\large\frac{2x^{1/4}y^{1/3}y}{3y}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\frac{100}{4x}\\[1ex]\frac{100}{3y}\end{pmatrix}$$

Wir haben die partielle Ableitung nach $x$ mit $x$ erweitert und die partielle Ableitung nach $y$ mit $y$, damit im Zähler wieder die ursprüngliche Funktion $U(x;y)$ steht. Da diese ja gleich $100$ sein soll, konnten wir dann beide Zähler durch $100$ ersetzen.

Unser nächstes Problem ist der Lagrange-Multiplikator $\lambda$. Wir wissen, dass $\lambda\ne0$ sein muss. Daher können wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate dividieren und anschließend $\lambda$ rauskürzen:$$\frac{2}{3}=\frac{\lambda\cdot\frac{100}{4x}}{\lambda\cdot\frac{100}{3y}}=\frac{\frac{100}{4x}}{\frac{100}{3y}}=\frac{100}{4x}\cdot\frac{3y}{100}=\frac{3y}{4x}\quad\implies\quad\pink{8x=9y}$$

Mit der pinken Lagrange-Bedingung sind wir fertig. Diese brauchen wir nur noch in die konstante Nebenbedingung einzusetzen:$$100\stackrel!=2x^{1/4}y^{1/3}\stackrel{(\pink{y=\frac89x})}{=}2x^{1/4}\left(\frac89\right)^{1/3}x^{1/3}=\frac{4}{9^{1/3}}\cdot x^{7/12}\quad\implies$$$$x=\left(\frac{100\cdot9^{1/3}}{4}\right)^{12/7}\approx874,4803$$

Damit haben wir als Lösung:$$\pink{x\approx874,4803}\quad;\quad \pink{y=}\frac89x=\pink{777,3158}$$

Comments

Deine Nutzenfunktion ist falsch. In dem Fall hätte man sich die ganze Rechnung übrigens auch sparen können, da beide Güter denselben Einfluss auf den Nutzen hätten, woraus aufgrund der Kosten sofort $y=\frac{2}{3}x$ folgen würde. Damit ließe sich durch Einsetzen in $U(x,y)=100$ sofort die optimale Verteilung berechnen.

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Vielen Dank für den Hinweis, ich habe den falschen Exponenten korrigiert.

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ich habe es mit Grenzkosten, Grenzrate berechnet und da kommt bei mir für x1= 1,266 und für x2 = 32,49 heraus, stimmt das jetzt oder wie rechnet man das richtig

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Ich habe dir die Rechnung doch ausführlich vorgeführt:$$x_1\approx874,4803\quad;\quad x_2\approx777,3158$$

Hier geht es um eine Optimierungsaufgabe.

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ja ich weiß aber gibts da keine andere alternative weil mit Lagrange-Multiplikator $\lambda$ ist es komplitziert kann man das nicht mit grenzrate , grenzkosten, budgetgerade…berechnen

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Mir ist nicht bekannt, wie das mit Grenzrate, Grenzkosten, Budgetgerade und dem sonsitgen BWL-Kram gehen könnte.

Und ja, es ist ein bisschen kompliziert, aber dafür studierst du das ja.

Wenn es jeder könnte, würde es nicht so gut bezahlt ;)

Answer 2

Dein Ergebnis kann gar nicht stimmen, da das Nutzenniveau von 100 gar nicht erreicht wird.

$U(1266; 32,49)=2\sqrt[4]{1266}\sqrt[3]{32,49}\approx 38,07$.

Wie ist denn deine Rechnung? Das Budget ermittelst du, indem du die Werte in die Formel für das Budget einsetzt.

Wie sieht denn deine Rechnung aus?

Comments

also genau was du da eingesetzt hast für x1 und x2 habe ich auch bekommen aber mein x1 war 1,266 nicht 1266

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Dann ist der Nutzen ja noch kleiner.

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ja wie soll ich es sonst rechnen

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Nebenbedingung nach x oder y auflösen und in Kostenfunktion einsetzen und dann minimieren. Oder siehe die andere Antwort.

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Meine Vorgangsweise war so:

Ich habe Grenznutzen gebildet dann die Grenzrate dann habe ich x1 bekommen und in gleichung eingesetzt also : 2*x1+3*x2=100 hab dann x2 bekommen stimmt das oder wie kann ich jetzt das berechnen

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Warum setzt du die Kostenfunktion gleich 100? Der Nutzen soll gleich 100 sein.

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ja wie soll ich x2 sonst ausrechnen

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Mit der Nutzenfunktion: $U(x,y) = 2 \sqrt[4]{x} \sqrt[3]{y} =100$.

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Kannst du mir den Rechenvorgang aufschreiben?