Da ihr das Symbol der Wurzel vorher schon hattet, gehe ich von folgender Wurzeldefinition aus, deren Existenz schon vorher bewiesen sein muss. Dies schließt auch ein, dass Potenzen mit natürlichen Exponenten schon bekannt sein sollten. Wenn dem nicht so ist, solltest du auch eure Wurzeldefinition mit angeben.
Zu jeder reellen Zahl \(c\geq 0 \) und jeder ganzen Zahl \(k\geq 1\) gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl \(b\geq 0\), sodass
\(b^k = c \Rightarrow \). Man definiert dann \(\sqrt[k]{c} = b\).
Zu zeigen ist also, dass
\(\left(\sqrt[k]{a^l}\right)^k = a^l \stackrel{ \tiny{\footnotesize{zu\: zeigen}} }{=}\left(a^{\frac lk}\right)^k\)
Jetzt brauchen wir \(\exp\) und \(\ln\):
\(\left(a^{\frac lk}\right)^k = \left(\exp(\frac lk \ln a)\right)^k = exp(k \ln (\exp(\frac lk \ln a)) ) =\ldots\)
\(\ldots = \exp( k\cdot \frac lk \ln a ) = \exp(l\ln a) = a^l\)
Dieser Beweis benutzt implizit, dass die herkömmliche Potenz \(a^l\) mit natürlichem Exponenten \(l\) dasselbe ist, wie \(\exp(l\ln a)\). Das müsste man genaugenommen auch noch zeigen.
