Zeige : Sa ist selbstadjungiert mit Trägheitsindex (n − 1, 1.0).

Question

Aufgabe: Sei (V,⟨·, ·⟩) ein euklidischer Vektorraum mit Dimension n ∈ N. Sei
O(V) = {F ∈ End(V ) | ⟨v, w⟩ = ⟨F(v), F(w)⟩ für alle v, w ∈ V }
die Gruppe der orthogonalen Endomorphismen von V . Für einen Vektor a ∈ V \{0} definieren
wir die Spiegelung S_a : V → V an der Hyperebene a^⊥ durch S_a(v) = v − 2\( \frac{⟨v, a⟩}{⟨a, a⟩} \) · a.
Dass diese Abbildung linear ist muss nicht gezeigt werden. Zeige:
(i) S_a² = id.
(ii) S_a ist orthogonal.
(iii) S_a ist selbstadjungiert mit Trägheitsindex (n − 1, 1.0).
(iv) Sei F ∈ O(V ) uZnd v ∈ V mit F(v) ̸= v gegeben. Setze a = F(v) − v und W = v^⊥. Dann ist S_a(v) = F(v) und Sa ◦ F |W ∈ O(W).
(v) (Zusatz, 2 Punkte) Jedes F ∈ O(V ) ist die Verkettung von höchstens n Spiegelungen.
Der Sonderfall F = id ist die Verkettung von 0 Spiegelungen.

Problem/Ansatz in iii) wie kann man den Trägheitsindex bestimmen und iv) konnte ich es nicht beweisen , ich brauche Hilfe bitte , Danke im Voraus

Comments

Du mischst hier die Sprache für reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt.
Euklidisch, orthogonal, symmetrisch → reell.

Unitär, selbstadjungiert (hermitesch) → komplex.

Je nachdem, was du meinst, unterscheiden sich die Rechnungen etwas.

Wenn du unitär meinst, dann solltest du noch angeben, ob das Skalarprodukt im 1. oder 2. Argument linear ist (wegen \(<u,v> = \overline{<v,u>}\))

Answer 1

Hier schonmal ein Hinweis zu den Trägheitsindizes:

Wähle als Basis \(a_1 = a\) zusammen mit einer Basis \(a_2,\ldots ,a_n\) des Unterraumes \(a^\perp\).

Dann ist offensichtlich

\(S_a(a_1) = -a_1\)

\(S_a(a_k) = a_k\) für \(k=2,\ldots , n\)

Damit haben wir eine Basis von Eigenvektoren gefunden. Die Trägheitsindizes entsprechen den Vorzeichen der Eigenwerte.