Einzige Nullstelle finden im Definitionsbereich

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 5.1 (10 Punkte):
Für eine positive reelle Zah
\( >0 \) und eine ungerade natürliche Zahl \( 2 n+1 \)
auf dem Definitionsbereich \( D=\mathbb{R} \).
Begründ diese an
Eige: f ist injeltiv
Beweis: \( f \) ist streng monoton
Besechue dazn \( f^{\prime}(x)=(2 n+1) \cdot x^{2 n} \)

Nolls belle: \( 0 ! x^{2 n+1}-a \Leftrightarrow \)
\( \begin{aligned} (0<)_{a} & =x^{2 n+1} \Leftrightarrow \\ x & =\sqrt[2 n+1]{a} \end{aligned} \)

Es handelt sich um folgende Aufgabe (hier jetzt mit Lösung des Profs)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht wie er darauf kommt und wäre anders vorgegangen.

Und zwar: Da 2n+1 eine ungerade natürliche Zahl ist hätte ich für n eine 1 eingesetzt. Da a > 0 hätte ich hierfür einfach 2 eingesetzt. Wenn man die Funktion jetzt schreibt: x^2*1+1-2, kann man die Funktion = 0 setzen um die Nullstellen zu finden.

x^3-2 = 0 | +2 → x^3 = 2 | 3. Wurzel ziehen dann erhält man als einzige Nullstelle 1,2599 . Das ist die einzige Herleitung die ich verstehe, um zu zeigen das diese Funktion nur 1 Nullstelle hat.


Kann mir da jemand weiterhelfen??

Answer 1

Du musst das aber für beliebige n und a>0 zeigen. Injektivität bedeutet, dass die 0 nur einmal getroffen wird, also gibt es nur eine Nullstelle. Und aus strenger Monotonie folgt Injektivität sofort. Die Nullstelle wird dann durch Umformen einfach bestimmt.