Aloha :)
Effektivwerte beziehen sich in der Elektrotechnik immer auf die Leistung, sofern nichts anderes gesagt wird. Hier ist also die konstante Spannung \(U_\text{eff}\) gesucht, die im Mittel die gleiche Leistung liefert wie die angelegte Wechselspannung$$u(t)=\hat u\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+\overline u\quad;\quad \overline u=10\,\mathrm V\quad;\quad \hat u=10\,\mathrm V$$
Die Leistung \(P\) ist Spannung \(U\) mal Stromstärke \(I\). Da wir \(I\) nicht kennen, nutzen wir das Ohm'sche Gesetz \(U=R\cdot I\), um die Stromstärke \(I\) durch die Spannung \(U\) und den Widerstand \(R\) auszudrücken. Das heißt, wir setzen \(I=U/R\) zur Berechnung der mittleren Leistung des Wechselstroms:$$P=\frac1T\int\limits_{t=0}^Tu(t)\cdot\frac{u(t)}{R}\,dt=\frac{1}{RT}\int\limits_{t=0}^Tu^2(t)\,dt=\frac{1}{RT}\int\limits_{t=0}^T\left(\hat u\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+\overline u\right)^2dt$$$$\phantom P=\frac{1}{RT}\int\limits_{t=0}^T\left(\hat u^2\sin^2\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+2\hat u\,\overline u\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+\overline u^2\right)^2dt$$
Das sieht schlimmer aus als es ist. Das Integral über die Sinusfunktion in der Mitte ist Null, weil wir über eine gesamte Periode der Sinusfunktion integrieren. Das Integral über \(\sin^2(\cdots)\) schreiben wir mittels$$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}\implies\sin^2\left(\frac{2\pi}{T}t\right)=\frac{1-\cos\left(\frac{4\pi}{T}t\right)}{2}$$in eine leicht integrierbare Form um:$$\small P=\frac{1}{RT}\int\limits_{t=0}^T\left(\hat u^2\cdot\frac{1-\cos\left(\frac{4\pi}{T}t\right)}{2}+\overline u^2\right)dt=\frac{\hat u^2}{2RT}\int\limits_{t=0}^T\left(1-\cos\left(\frac{4\pi}{T}\right)\right)+\frac{1}{RT}\int\limits_{t=0}^T\overline u^2\,dt$$$$\phantom P=\frac{\hat u^2}{2RT}\left[t-\frac{T}{4\pi}\sin\left(\frac{4\pi}{T}\right)\right]_{t=0}^T+\frac{1}{RT}\left[\overline u^2\cdot t\right]_{t=0}^T=\frac{\hat u^2}{2R}+\frac{\overline u^2}{R}$$
Die Gleichspannung \(U_{\text{eff}}\) mit derselben Leistung erhalten wir nun so:$$\frac{U^2_{\text{eff}}}{R}=P=\frac{\hat u^2}{2R}+\frac{\overline u^2}{R}\implies U^2_{\text{eff}}=\frac{\hat u^2}{2}+\overline u^2\implies U_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{\hat u^2}{2}+\overline u^2}$$
