Aufgabe:
Sei \(f\) stetig auf dem Intervall \([a, b]\), \(n\)-mal differenziarbar auf \((a, b)\) und besitze \(n + 1\) Nullstellen.
Man zeige, dass es ein \(ξ∈ (a,b)\) mit \(f^{(n)}(ξ) = 0\) gibt.
Problem/Ansatz:
Die zu zeigende Aussage verstehe ich soweit. Es ist zu zeigen, dass die \(n\)-te Ableitungsfunktion \(f^{(n)}\) der Ausgangsfunktion \(f\) unter den genannten Voraussetzungen mindestens eine Nullstelle im Intervall \((a, b)\) aufweist.
Hier finde ich es naheliegend, den Satz von Rolle anzuwenden, denn durch die Voraussetzung, dass es \(n + 1\) Nullstellen von \(f\) gibt, kennt man zunächst \(n\) Intervalle, die durch die Nullstellen begrenzt werden und auf denen \(f\) stetig und diff.bar ist. Nach Rolle hat dann die Ableitungsfunktion \(f'\) mindestens \(n\) Nullstellen.
Ich vermute, dass man dies auch auf \(f'\), \(f''\), ... \(f^{n-1}\) anwenden kann, also so lange fortführen kann, bis man zur \(n\)-ten Ableitung von \(f\) gelangt, welche nicht mehr weiter differenzierbar ist.
Wie kann ich diese Vermutung, sofern sie zutrifft, sauber formalisieren und beweisen?
Vielen Dank im Voraus.
