Wie kann ich das bis zur n-ten Zahl beweisen?

Question

Aufgabe:

Es gibt zwei Folgen.

Folge 1: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77

Folge 2: 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79

Die Differenz zwischen den Zahlen einer Folge beträgt immer sechs. Die markierten Zahlen sind die Primzahlen. Wenn man die zwei Folgen weiter fortführt, sieht man das weiterhin alle Primzahlen enthalten sind. Wie kann ich das bis zur n-ten Zahl beweisen?

Answer 1

Primzahlen ≥ 5 haben immer die Form 6k ± 1

Warum? Schauen wir uns doch mal 6 aufeinanderfolgende Zahlen an

6k ist sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar und daher nicht prim.

6k + 1 ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar und damit ein möglicher Kandidat für eine Pimzahl.

6k + 2 ist durch 2 teilbar und daher nicht prim.

6k + 3 ist durch 3 teilbar und daher nicht prim.

6k + 4 ist durch 4 teilbar und daher nicht prim.

6k + 5 = 2*6k - 1 ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar und damit ein möglicher Kandidat für eine Pimzahl.

In den beiden oberen Folgen sind aber alle Zahlen der Form 6k ± 1 vertreten und damit alle Primzahlen ≥ 5.