Ist das Problem gut konditioniert?

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2:
Gegeben seien die Matrix und der Vektor
\( A=\left(\begin{array}{ll} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{r} 10 \\ 6 \end{array}\right) \)
(i) Der relative Fehler in den Einträgen der rechten Seite sei höchstens \( \pm 5 \% \). Schätzen Sie zunächst den relativen Fehler \( \|\Delta b\|_{2} /\|b\|_{2} \) und danach \( \|\Delta x\|_{2} /\|x\|_{2} \) mit dem Störungssatz ab. Ist das Problem gut konditioniert?
(ii) Skizzieren Sie die Punktmenge im \( \mathbb{R}^{2} \), in der gemäß dieser Abschätzung in der euklidischen Norm die Lösung \( x+\Delta x \) des gestörten Systems liegt.

Gegeben sei folgende Aufgabe.

Wie löse ich a)?

Mein Problem: der Störungssatz sagt mir cond(A)/(1-cond(A)*relativer Fehler von A)*(relativer Fehler der rechten Seite addiert mit relativen Fehler der Matrix).

Nach Aufgaben Stellung würde ich jetzt schließen, dass der relative Fehler von A bei 1 liegt. Als cond(A) habe ich bezüglich der 2 Norm 32 berechnet (falls das richtig ist). Das heißt wiederum mit störungssatz, dass ich 32/(1-32) rechnen müsste und dies wäre ja negativ.

Ein negativer Fehler ergibt für mich nicht so viel Sinn. Kann mir jemand hier weiter helfen?

Answer 1

In der Voraussetzung des Störungssatzes, den Du zitierst (auch nur die Hälfte davon), steht, dass der Nenner >0 sein muss.

Aber dieser Satz ist hier eh nicht gefragt, denn der ist (Voraussetzung lesen!) für den Fall, dass auch die Matrix gestört ist. Davon ist aber hier nicht die Rede.

Es findet also ein anderer (einfacherer) Störungssatz Anwendung.

Außerdem soll zunächst der rel. F. der rechten Seite abgeschätzt werden. Damit fängt man also an. Danach Störungssatz (der passende!), dann Frage beantworten.

Hier ist \(cond(A)=4\), denn \(\|A\|_2=8, \|A^{-1}\|_2=0.5\).

Comments

Ahhhh, danke. Bei der Berechnung von cond(A) hab ich in meinen Rechnungen das Wurzel ziehen vergessen.

Wie schätze ich denn den relativen Fehler von der rechten Seite ab? Ist der nicht nach Vor. Kleiner 5%?

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Genau lesen: Der rel. F. der Einträge der rechten Seite ist max. 5%. Wir brauchen hier den rel. F. des Vektors in der 2-Norm.

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Das habe ich auch schon gelesen. Angefangen habe ich indem ich die 2 Norm  von b berechnet habe. Da hätte ich den Wert 2wurzel(34) raus.

Ein relativer Fehler von +-5% heißt ja, dass unser Vektor b Werte zwischen (9.5,5.7) und (10.5,6.3). Das heißt die maximale Änderung von unserem b kann (0.5,0.3) und dies in der zweier Norm wäre ja wurzel(34)/10. dividiert durch 2wurzel(34) komme ich wieder auf 5%…

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Achso, ja, das sollte so stimmen, weil in beiden Einträgen der gleiche max. rel. F. vorliegt.