Beschädigt der Bohrer die Wasserleitung?

Question

Aufgabe:

Der Ursprung eines Koordinatensystems mit der Längeneinheit 1m liegt in der linken unteren Ecke des Zimmers aus Fig. 1.

Auf einer Höhe von 1,55m verläuft in der Hinterwand in 5cm Tiefe eine Wasserleitung mit einem Durchmesser von 1,5cm. Ein Heimwerker bohrt mit einem 6-mm-Bohrer ein Loch längs der Geraden g: x= (0, 2,  1,53)+ t*(-10, -1, 1)

Untersuchen Sie, ob der Bohrer die Wasserleitung beschädigen kann.

Problem/Ansatz:

Brauche Hilfe bei der Aufgabe, habe auch kein Ansatz.

Die Aufgabe soll ohne Rechnung mit Ebenen bearbeitet werden. Danke im Voraus.

Answer 1

Abstand zweier windschiefer Geraden

X = [-0.05, 0, 1.55] + r·[0, 1, 0]

X = [0, 2, 1.35] + r·[-10, -1, 1]

Wir hängen ein Richtungsvektor um und machen daraus das Problem

Abstand Punkt Gerade

P = [-0.05, 0, 1.55] 

X = [0, 2, 1.35] + r·[-10, -1, 1] + s·[0, 1, 0]

Normalenvektor

N = [-10, -1, 1] ⨯ [0, 1, 0] = [-1, 0, -10] = - [1, 0, 10]

Abstand Punkt Ebene

[0, 2, 1.35] + r·[-10, -1, 1] + s·[0, 1, 0] + d·[1, 0, 10] = [-0.05, 0, 1.55] --> d = 39/2020 ∧ r = 7/1010 ∧ s = - 2013/1010

Der Abstand beträgt daher

39/2020·|[1, 0, 10]| = 0.1940 m

0.75 cm + 0.3 cm = 1.05 cm = 0.0105 m

Der Abstand ist größer als die Summe aus Bohrer-Radius und Rohr-Radius und langt demnach.

Es gibt mehrere Varianten wie man rechnen kann. Wenn ihr ein Abweichendes Verfahren benutzt habt dann wähle auch das und prüfe ob du damit auf das gleiche Ergebnis kommst.