Differentialgleichung eindimensionaler gekoppelter harmonischer Oszillator

Question

Aufgabe:

Betrachte die Differentialgleichung für einen eindimensionalen gekoppelten harmonischen Oszillator:
\( \begin{array}{l} x^{\prime \prime}=-\omega^{2} \cdot x-\beta \cdot(x-y) \\ y^{\prime \prime}=-\omega^{2} \cdot y+\beta \cdot(x-y) . \end{array} \)

Schreibe das obige Gleichungssystem in ein vierdimensionalen System von Differentialgleichungen erster Ordnung um. Berechne eine Basis der Lösungen für \( \omega^{2}=1 \) und \( \beta=4 \).

Problem/Ansatz:

Wie muss ich mit gekoppelten Differentialgleichungen umgehen? Ich denke mal, wenn ich da eine Herangehensweise habe, sollte ich die Aufgabe lösen können.

Kann mir jemand einen Lösungsansatz geben?

Ich würde mich dann ggf. Noch mit Rückfragen zur Aufgabe melden.

Answer 1

Hallo

du musst ja einen 4 d Vektor haben w1=x w2=x' w3=y , w4=y' damit hast du ein System erster Ordnung was man in der üblichen Weise löst.

lul

Comments

Danke schonmal.

Das habe ich jetzt, wie ich denke, hinbekommen und folgende Gleichungen erhalten:

\(v_{1}\prime=v_{2}\)

\(v_{2}\prime=-(\omega^{2}+\beta)v_{1}+\beta y\)

\(v_{3}\prime=v_{4}\)

\(v_{4}\prime=-(\omega^{2}+\beta)v_{2}+\beta x\)

Passt das so?

Und was ist mit einer Basis der Lösung berechnen gemeint?

Answer 2

Hallo,

anbei die Beantwortung deiner Fragen:

1.) Passt das so?

Das x und y mußt Du auch noch schreiben in \( v \) -Form.

Ich habe folgendes erhalten:

2.) Und was ist mit einer Basis der Lösung berechnen gemeint?

Damit ist die Berechnung eines Fundamentalsystems gemeint, also ausrechnen.

Bei der Schreibweise der Lösung ist kein C1 , C2, C3 C4 zu schreiben.
Ich habe erhalten:

x(t)= cos(t) +sin(t) -cos(3t) -sin(3t)
y(t)=cos(t) +sin(t) +cos(3t) +sin(3t)