Formel geometrische Vielfachheit begründen

Question

Aufgabe:

Begründen Sie die Formel für die geometrische Vielfachheit von Eigenwerten einer nxn-Matrix A mit der Dimensionsformel: Dimension(Kern(A)) + Rang(A) = n

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich das lösen soll, wir haben die Formel nur kurz in einer Vorlesung gesagt bekommen und sonst nie wieder etwas dazu gemacht. Könnte mir jemand erklären wie das zu begründen ist :)

Comments

Wie lautet denn die zu begründende Formel? Die von Dir genannten Dimensionsformel ist der Dimensionssatz für lin. Abbildungen.

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Die Formel für geometrische Vielfachheit ist n - Rang(A-Eλ)

Answer 1

Dann wende den Dimensionssatz an auf die lin. Abb. \(A-\lambda I\). Beachte, dass die geom. Vielfachheit die Dim. des Eigenraums ist, und der Eigenraum ist der kern von \(A-\lambda I\). Damit sollte alles klar sein, oder?

Comments

Also soll ich für "Dimension(Kern(A))" "n - Rang(λI)" einsetzen und für "Rang(A)" "Rang(A - λI)"? Damit sich dann "Rang(λI)" rauskürzt und "n = n" da steht?

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Nochmal anders formuliert: Setze \(B:=A-\lambda I\) und wende den Dimensionssatz auf \(B\) an. Dann steht die Formel für die geom. V schnell da. Lade Deine Rechnung (sind max. zwei Zeilen) hoch.

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Ich weiß nicht genau wie ich das aufschreiben soll. Also die Dimension(Kern(B)) ist der Defekt(B), also der Rangverlust von B ist und Rang(B) eben dann der Rang ist der übrig bleibt, und das entspricht dann addiert n. Oder verstehe ich das falsch? Wie wende ich darauf jetzt den Dimensionssatz an, wir haben das nie wirklich verwendet und das steht jetzt so in meiner Probeprüfung.

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Mit verbalen Beschreibungen bleibt alles unklar.

Also: 1. Schritt: Dim-Satz für B hinschreiben:

Dimension(Kern(B)) + Rang(B) = n (reine Schreibarbeit, hab ich für Dich gemacht).

Die weiteren Schritte machst Du:

2. Schritt: \(B=A-\lambda I\) einsetzen (reine Schreibarbeit)

3. Schritt: Tipp aus meiner Antwort ganz oben benutzen

4. Schritt: Anschauen und feststellen: fertig.

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Ah, also da steht dann "n - rang(A - λI) + rang(A - λI) = n" und gekürzt dann "n = n", oder?

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Nein. Ich weiß nicht, was Du da machst. Was steht in meinem Tipp oben ("beachte...")? Du machst irgendwas anderes, daher kommst Du auch nicht zum Ziel. Folge den obigen Schritten und mach nichts anderes.
Dein Ergebnis von Schritt 2 ist?
Dein Ergebnis von Schritt 3 ist?

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Ich komme wirklich nicht weiter, wir haben mit dem Dimensionssatz kein einziges mal gerechnet. Ich verstehe also nicht wie ich ihn jetzt überhaupt auf A - λI anwenden kann.

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Es gibt nichts zu rechnen. Nochmal:

Dein Ergebnis von Schritt 2 ist?
Dein Ergebnis von Schritt 3 ist?

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Schritt 2: dim(Kern(A - λI)) + Rang(A - λI) = n

Schritt 3: dim(Kern(A - λI)) = n - Rang(A - λI) <=> geometrische VFH = n - Rang(A - λI)

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Aha, geht doch. Und das war ja zu zeigen. Fertig.

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Vielen Dank :)

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Gut, dass es jetzt noch geklappt hat. Lies Dir alles nochmal in Ruhe durch und mach Dir klar, dass hier nichts (absolut nichts!) zu rechnen war. Und dass es ein Einzeiler ist.