geometrische Vielfachheit von inversem Eigenwert

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ K^NxN regulär.

Zu zeigen: Wenn λ ∈ K ein Eigenwert von A mit geometrischer Vielfachheit v ist, so besitzt

der Eigenwert λ^-1  von A^-1 auch die geometrische Vielfachheit v.

Ich finde leider gar keinen Ansatzpunkt, daher wäre ich für einen Lösungshinweis sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

Neon

Answer 1

\(\begin{aligned} &  & Ax & =\lambda x\\ & \iff & A^{-1}Ax & =A^{-1}\lambda x\\ & \iff & x & =\lambda A^{-1}x\\ & \iff & \lambda^{-1}x & =A^{-1}x \end{aligned}\)

Schau mal in welcher Beziehung der Eigenraum von \(A\) zum Eigenwert \(\lambda\) und der Eigenraum von \(A^{-1}\) zum Eigenwert \(\lambda^{-1}\) zueinander stehen.