Eigenwert und algebraische/geometrische Vielfachheit

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Matrix.
$$\displaystyle A = \begin{pmatrix} -5 & 4 & 10 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $$

Bestimmen Sie die Eigenwerte $$ \lambda_1$$ und $$ \lambda_2$$ von $$ A$$, sowie jeweils die algebraische Vielfachheit $$ e_{\lambda_i}$$ und die geometrische Vielfachheit $$ d_{\lambda_i}$$für$$ i = 1,2$$. Ordnen Sie die beiden Eigenwerte aufsteigend an.
Entscheiden Sie anschließend, ob $$ A$$ diagonalisierbar ist.

Bestimmen Sie die symmetrische Matrix $$ A \in \mathbb{R}^{3\times 3}$$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
·Die Matrix  A besitzt den Eigenvektor $$ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ zum Eigenwert 6.
·Die Matrix A besitzt den Eigenvektor $$ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$ zum Eigenwert 9.
·Die Matrix A hat die Spur 4.

Answer 1

(-λ-5)(λ^2 -25)=0

Eigenwerte:

λ₁=λ₂= -5

λ₃ = 5