Wie wendet man die Quotientenregel an und wie fasst man zusammen?

Question

Aufgabe: Quotientenregel

Problem/Ansatz: Ich verstehe das Ableiten hier nicht und wie man kürzt.

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline Mathematik & Analysis: Ableitungsregeln & Datum: \\
\cline { 1 - 1 } S2 & & \\
\hline
\end{tabular}

Quotientenregel: \( f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \quad f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{v(x)^{2}} \)
Bilde die Ableitung der folgenden Funktionen mit Hilfe der Quotientenregel:
a) \( y=f(x)=\frac{1}{5 x+4} \)
\( \begin{array}{l} u(x)= \\ v(x)= \\ u^{\prime}(x)= \\ v^{\prime}(x)= \end{array} \)
b) \( y=f(x)=\frac{(x+2)}{(3 x-1)} \)
\( \begin{array}{l} u(x)= \\ v(x)= \\ u^{\prime}(x)= \\ v^{\prime}(x)= \end{array} \)
c) \( y=f(x)=\frac{\left(x^{2}-2 x+3\right)}{(2 x+4)^{2}} \)
\( \begin{array}{l} u(x)= \\ v(x)= \\ u^{\prime}(x)= \\ v^{\prime}(x)= \end{array} \)
d) \( y=f(x)=\frac{(a x+b)^{2}}{\left(b x^{2}-a\right)} \)
\( \begin{array}{l} u(x)= \\ v(x)= \\ u^{\prime}(x)= \\ v^{\prime}(x)= \end{array} \)
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Comments

Du könntest ja schon mal anfangen, die einzelnen Funktionen aufzuschreiben und abzuleiten und das Ganze zusammensetzen. Die Formel steht ja da.

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Kannst Du denn für die erste Aufgabe u und v identifizieren und deren Ableitungen berechnen?

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U(x)= 1

V(x)= 5x+4

U‘(x)= x? Wie leitet man 1 ab?

V‘(x)= 5?

Answer 1

a) u = 1, u' = 0

v= 5x+4 , v' = 5

alternativ:

1/(5x+4) = (5x+4)^-1 -> f '(x) = -1*(5x+4)^-2*5 = -5/(5x+4)^2

b) u= x+1 , u' = 1

v= 3x-1, v'= 4

c) u= x^2-2x+3, u' = 2x-2

v= (2x+4)^2, v' = 2(2x+4)*2 = 4(2x+4)

d) u= (ax+b)^2, u'= 2a(ax+b

v=bx^2-a, v'= 2bx

Comments

Zum Beispiel bei c habe ich die Werte in die Formel eingesetzt aber habe Probleme beim kürzen

Answer 2

Zum Beispiel bei c) habe ich die Werte in die Formel eingesetzt aber habe Probleme beim Kürzen.

c)  \(f(x)=\frac{\left(x^{2}-2 x+3\right)}{(2 x+4)^{2}} \)

\(u=x^2-2x+3\)  →  \(u'=2x-2\)

\(v=(\blue{2} x+4)^{\red{2}}\)  →  \(v'=\red{2}\cdot (2x+4)^{1}\cdot \blue{2}\)

\(f'(x)=\frac{(2x-2)(\blue{2} x+4)^{\red{2}}-(x^2-2x+3)\red{2}\cdot (2x+4)\cdot \blue{2}}{(2x+4)^4}\)

Nun kannst du \(2x+4\) kürzen: ( Hier gilt nicht der sonst übliche Spruch vom Kürzen in Differenzen und Summen)

\(f'(x)=\frac{(2x-2)(\blue{2} x+4)^{\red{1}}-(x^2-2x+3)\red{2}\cdot \blue{2}}{(2x+4)^3}\)

Nun ausmultiplizieren und zusammenfassen.