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Aufgabe \( 7 \quad \) (7 Punkte) 0 1 2 3 \( \int 4 \)
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Es sei \( \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R} \) der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit den Basen
\( M: 1, X, X^{2} \text { und } C: 1,2-X, X^{2} . \)
Weiterhin sei die lineare Abbildung \( \varphi: \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R} \rightarrow \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R}: p(X) \mapsto p(-3) X \) gegeben.
(a) Bestimmen Sie:
\( \varphi(1+X)=\square-2 X \)
(b) Bestimmen Sie \( { }_{M} \varphi_{M} \) und \( { }_{M} \) id \( _{C} \) :
\( { }_{M} \varphi_{M}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),{ }_{M} \mathrm{id}_{C}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) . \)
(c) Bestimmen Sie:
\( { }_{C}(\varphi(1+X))=(-4,2,0 \quad)^{\top} . \)
(d) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(\varphi)) \) und eine Basis \( B \) von \( \operatorname{Kern}(\varphi) \).
\( \operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(\varphi))=\square \quad X+3, X^{2}-9 \)
Bei folgender Aufgabe habe ich Schwierigkeiten diese zu verstehen. Könnte mir jemand bitte das Vorgehen erklären?
a) konnte ich schon bestimmen
LG
