Extremstellen mit Nebenbedingung bestimmen

Question

die Aufgabe;

Finde globale Minimal und Maximalstellen von f unter der Nebenbedingung

\(f(x,y)=ye^x\)

Nebenbed: \(x^2+y^2=2\)

Hier war ein Tippp verwende Lagrange Multiplikator.

Mein Ansatz:

ich stelle die Nebenbed. nach 0 um

\(x^2+y^2-2=0\)

Erhalte \( L(x,y,\lambda) = ye^x + \lambda(x^2+y^2-2\)

So hier den Gradienten

\( L_x=(ye^x+2 \lambda x)\)  (WIrd für 1. Gleichung verwendet)

\( L_y=(e^x+2 \lambda y)\)  (...2.)

\( L_\lambda=(x^2+y^2-2)\) (...3.)

Jetzt habe ich ein LGS erstellt mit den Gleichungen =0 (also die vom Gradienten, werde sie hier nicht nochmal tippen)

Hier habe ich y*(1.Gleichung) - x*(2. Gleichung)

ALso neue Gleichung:

\(y^2e^x-xe^x=0\) (4.Gl)

\(x^2+y^2-2)=0\) (3.Gl von oben)

Nun stelle ich due (4.Gl) um

\(e^x = 0\) oder \(-x+y^2 =0\)

--> wird nie null    --->\( y=sqrt(x)\)

Setze das in 3. Gl

erhalte für\( x_1=1\) und \(x_2=-2\)

wenn ich diese dann aber in 3.Gl einsetze erhalte ich nur für x_1 eine lösung weil x_2 negativ und wurzel negativ nicht erlaubt

Jetzt stellt sich für mich die Frage: Wie finde ich heraus ob das ein Minimum oder Maximum ist ? und ist es global ? Und habe ich die Schritte korrekt durchgeführt ?

Comments

Wie finde ich heraus ob das ein Minimum oder Maximum ist ?

Vergegenwärtige Dich wie der Verlauf der Funktion ist. Bei einer Nebenbedingung wie \(x^2+y^2=2\) ist das doch relativ einfach:

klick auf das BIld!

Answer 1

y·e^x + 2·k·x = 0 --> k = - y·e^x/(2·x)

e^x + 2·k·y = 0 --> k = - e^x/(2·y)

Wir setzen mal k gleich

- y·e^x/(2·x) = - e^x/(2·y) --> x = y^2

Das in die NB einsetzen

(y^2)^2 + y^2 - 2 = 0 --> y = -1 ∨ y = 1

Deine Lösung x = -2 kann eigentlich nicht sein, weil dann y = √(-2) nicht funktioniert.

Aber ansonsten komme ich auch auf x = 1 und y = ±1

Dann kommt doch als Funktionswert für f einmal e und einmal - e heraus oder? Was würdest du dann als Minimum und was als Maximum vorschlagen?

Comments

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort !

Also x hast du herausbekommen indem du y in die Gleichung x^2+y^2-2 eingesetzt hast oder ?

Und wenn ich dann e habe, wäre das ja mein Maximum

und -e Minimum, da -e < e gilt oder ?

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x habe ich über x = y^2 herausbekommen.

Genau. e ist das Maximum und -e das Minimum.

Schau dir sowas gerne auf dafür geeigneten Programmen oder Apps an.

Siehe dazu auch die Antwort von Werner-Salomon.

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Warum kann x nicht auch -1 sein ? Ich habe das in x^2+y^2-2=0 eingesetzt also y=1 und -1 da bekomm ich doch die Wurzel aus 1 also +-1 für x ?

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Bei einem Gleichungssystem müssen zwangsweise immer alle Gleichungen erfüllt sein. Meine Gleichung x=y^2 erlaubt nur x=1.