Nichtnegativdefinite Matrix ist symmetrisch?

Question

Angenommen wir haben eine nichtnegativdefinite Matrix G. Nur bzgl Verständnis, folgt man daraus immer, dass G symmetrisch ist? Wenn man generell von Definitheit spricht, bezieht man sich dann auf symmetrische Matrizen?

Answer 1

Nein, es gibt auch nicht symmetrische Matrizen, die definit sind.

Answer 2

Aloha :)

Die Definitheit ist für alle quadratischen Matrizen $A$ definiert.

$$\text{positiv definit}\qquad\;\,\quad \vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x>0\quad\text{für alle }\vec x\in\mathbb V$$$$\text{negativ definit}\qquad\,\quad \vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x<0\quad\text{für alle }\vec x\in\mathbb V$$$$\text{positiv semi-definit}\quad\; \vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x\ge0\quad\text{für alle }\vec x\in\mathbb V$$$$\text{negativ semi-definit}\quad \vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x\le0\quad\text{für alle }\vec x\in\mathbb V$$

Wenn die quadratische Matrix zusätzlich symmetrisch (hermitesch) ist, gibt es aber einfache Kriterien zur Bestimmung der Definitheit (Eigenwerte, Hauptminoren). Da die Hesse-Matrix symmetrisch ist, sind diese Kriterien in praktischen Fällen sehr hilfreich.

Comments

Ok danke. Ich war nur ein bisschen verwirrt, weil ich dachte, dass es sich eher anbietet symmetrische Matrizen auf Definitheit zu untersuchen

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Das ist praktisch auch fast immer der Fall. In allen wichtigen Fällen (Quantenmechanik, Extremwertbestimmung) sind die anfallenden Matrizen symmetrsich.