WK-Ziehen ohne Zurücklegen

Question

Aufgabe:Qualitätskontrolle

Bei einer Qualitätskontrolle wurden fünf Produktw geprüft. Zwei dieser Produkte wurden als defekt erkannt. Leider wurde nicht protokolliert, welche zwei von den fünf Produkten defekt waren. Die fünf Produkte werden daher nochmals der Reihe nach untersucht und zwar so lange, bis die beiden defekten Produkte gefunden sind.

b2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man die maximale Anzahl von Untersuchungen braucht, um die beiden defekten Produkte zu finden!
Problem/Ansatz:

Ich habe schon herausgefunden, dass man höchstens 4 Untersuchungen braucht. Ich hab dann entlang einem Pfad im Baumdiagramm multipliziert (3-mal nicht defekt/Ziehen ohne Zurücklegen). Ich kam dabei auf (3/5).(2/4).(1/3)=6/60=1/10. Im Lösungsheft steht, dass die Lösung 0,6 sein sollte. Wie kommt man darauf?

Comments

Ich habe schon herausgefunden, dass man höchstens 4 Untersuchungen braucht.

Wie kommst Du auf vier?

Zur Not kannst Du einen Wahrscheinlichkeitsbaum zeichnen ("d" für defekt). Die Wahrscheinlichkeiten der betreffenden Äste addiert gibt 0,6.

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Wenn du doch auf 3/5 gekommen bist stimmt es doch mit der 0,6 überein

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Antwort auf die Kommentare:

1) Man hat drei nicht defekte, bis zu den defekten muss man schlimmstensfalls alle drei nicht defekte ziehen. Dann beim vierten hat man als sicheres Ereignis ein defektes Produkt.

2) Na ja, das ist ja die WK, dass man bei der ersten Ziehung ein nicht defektes Produkt bekommt, und nicht bei vier Untersuchungen.

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Wie kommst Du auf vier?

Wenn man bis zum 4. Versuch erst ein defektes Gerät gefunden hat weiß man ohne weitere Überprüfung, dass das fünfte Gerät das noch fehlende zweite defekte ist.

Answer 1

Du kannst die 3 funktionierenden Produkte in unterschiedlichen Reihenfolgen ziehen. Das liefert dir dann \( 3! \cdot \frac{1}{10} = 0,6 \).

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Vielen Dank!!!

Answer 2

b2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man die maximale Anzahl von Untersuchungen braucht, um die beiden defekten Produkte zu finden!

P(X✓✓✓, ✓X✓✓, ✓✓X✓, ) = 3 * 2/5 * 3/4 * 2/3 = 3/5 = 0.6

Ich habe die drei Pfade auch kenntlich gemacht.

Comments

Hypergeometrische Verteilung anwenden : p = (3 über 1)*(2 über 1) / (5 über 2)

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Hypergeometrische Verteilung anwenden

Je nach Kenntnisstand des Fragestellers fragwürdig.

Immerhin wurde schon erkannt das maximal 4 Untersuchungen notwendig sind. Warum dann aber ein dreistufiger Pfad genommen wird um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen ist sehr fraglich.

Also vielleicht zunächst einfach nochmals die Pfadregel wiederholen bevor man sich an die Verallgemeinerungen mit der Binomialverteilung und der hypergeometrischen Verteilung macht.

PS: Die meisten Schüler sind nicht mal in der Lage (3 über 1) * (2 über 1) / (5 über 2) ohne Taschenrechner zu berechnen.

Answer 3

Ganz ausführlich:

n = Niete

t = Treffer

nnntt -> P= 3/5*2/4*1/3*2/2*1/1 = 0,1

nntnt -> P= 3/5*2/4*2/3*1/2*1/1 = 0,2

ntnnt -> P= 3/5*2/4*2/3*1/2*1/1 = 0,2

tnnnt -> P= 2/5*3/4*2/3*1/2*1/1 = 0,1

Summe: 0,6