funktion mit mehreren veränderlichen, Extremum berechnen

Question

wie berechne ich hier die Maxima, Minima und die Sattelpunkte der Funktion

f(x,y) = (x²-1)(xy²+y)

Comments

In Deinem Lehrmaterial steht doch sicher, was Du technisch als erstes zu tun hast. Das könntest Du doch schonmal hierhin schreiben

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https://www.massmatics.de/merkzettel/#!207:Mehrdimensionale_Extremstellen

https://www.mathelounge.de/624360/extrema-und-sattelpunkte-funktionen-mit-2-variablen

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Das ist keine Funktion, übrigens.

Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift hat ein Gleichheitszeichen.

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Das ist keine Funktion, übrigens.

Als Moderator könntest du diese oft anzutreffende Schlampigkeit beseitigen, auch wenn klar ist, was gemeint ist.

Answer 1

Für die partiellen Ableitungen am besten umformen:

\( f(x,y) = (x^2-1)(xy^2+y)= x^3y^2 +x^2y -xy^2 -y  \)

Gibt dann

\(  \frac{df}{dx}(x,y) = 3x^2y^2 +2xy - y^2  \)

\(  \frac{df}{dy}(x,y) = 2x^2y +x^2 - 2xy -1   \)

und beides gleich 0 setzen um kritische Punkte zu bestimmen.

Bei der 2. Gleichung bekommt man ja für x≠0 und x≠1

(Das muss man später extra betrachten.)

\( y= \frac{1-x^2}{2x(x-1)} = \frac{-1-x}{2x} \) und das könnte in die erste

eingesetzt ja was bringen.Ich komme auf

\(    3x^4 +2x^3 - 2x^2 -2x -1 = 0  \)  mit den Lösungen x=1 oder x=-1.

Answer 2

f(x, y) = (x^2 - 1)·(x·y^2 + y) = x^3·y^2 + x^2·y - x·y^2 - y

Gradient gleich Null setzen

f'(x, y) = [3·x^2·y^2 + 2·x·y - y^2, 2·x^3·y + x^2 - 2·x·y - 1] = [y·(3·x^2·y + 2·x - y), (x + 1)·(x - 1)·(2·x·y + 1)] = [0, 0]

Ich erhalte die Lösungen: (x = -1 ∧ y = 1) ∨ (x = -1 ∧ y = 0) ∨ (x = 1 ∧ y = -1) ∨ (x = 1 ∧ y = 0)

Jetzt prüfst du die Funktion z.B. mit der Hesse-Matrix auf die Art der kritischen Stellen.