Zeigen Sie, dass N ∩ Z(G) ≠ {e} gilt // Algebra

Question

Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung p^n, wobei p eine Primzahl ist, N ⊂ G ein Normalteiler von G mit N ≠ e und Z(G) das Zentrum von G. Zeigen Sie, dass N ∩ Z(G) ≠ {e} gilt. Hinweis: G operiert durch Konjugation auf N, verwenden Sie die Bahnenformel.

Habe diese Aufgabe in einer Probeklausur gefunden und würde mich dafür interessieren wie man diese löst.

Comments

Hat jemand eine Idee?

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Idee: Wenn G auf N operiert, dann gilt, dass die Bahnen alle N entsprechen. der Stabilisator selbst entspricht dann dem Zentrum von G. Dann ergibt sich die bahnformel: |G| =|N| * |Z(G)|, weil |G| = p^n muss p selbst nach der Bahnformel ein Teiler von |Z(G)| sein also |Z(G)| ≥ p. Dann besteht aber das Zentrum aus mehr als einem Element und dann liegen im Schnitt von N und dem Zentrum mindestens 2 Elemente