Integration von gebrochen rationalen Funktionen

Question

Aufgabe:

Die Funktion soll mithilfe der Partiellen Integration integriert werden.

Den rot markierten Schritt verstehe ich nicht ganz. Was bringt mir hier die Polynomdivision?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} =\frac{x^{2}}{2} \cdot \arctan (x)-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \arctan (x)-\frac{1}{2} \int\left(1-\frac{1}{1+x^{2}}\right) d x= \\ =\frac{x^{2}}{2} \cdot \arctan (x)-\frac{1}{2}(x-\arctan (x))+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \arctan (x)-\frac{x}{2}+\frac{1}{2} \arctan (x)+C= \\ =\frac{x^{2}+1}{2} \arctan (x)-\frac{x}{2}+C=\underline{\left.\underline{\frac{1}{2}\left(\left(x^{2}+1\right)\right.} \arctan (x)-x\right)+C} \\ \end{array} \)

NR
\( \frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\frac{1}{1+x^{2}} \)

Polynomdivision:
\( x^{2}:\left(x^{2}+1\right)=1 \)
\( \frac{x^{2}+1}{\underline{\underline{-1}} \leftarrow \text { Rest }} \)

Answer 1

Das soll die Begründung sein für

\( \frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\frac{1}{1+x^{2}} \)

Kannst du aber auch anders herleiten.

Etwa so:

\( \frac{x^{2}}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}+1-1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}+1}{1+x^{2}}-\frac{1}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{1+x^{2}} \)

Und die 1 und das \( \frac{1}{1+x^{2}} \) sind Terme, die man leicht integrieren kann.

Comments

Ich verstehe. Muss man dann immer bei einer gebrochen rationalen Funktion beim Integrieren die Polynomdivision machen?

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Müssen muss man gar nichts. Wenn man es jedoch auf bekannte Grundintegrale zurückführen will, ist diese Division bei Zählergrad ≥ Nennergrad empfehlenswert.

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Nicht immer und es geht manchmal auch einfacher, wie du siehst.

f(x)=  (2x+a)/(x^2+ax+b)

Hier erkennt man sofort F(x) als ln(x^2+ax), weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht.

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Im Fall Zählergrad < Nennergrad geht die Polynomdivision sowieso ins Leere.

Answer 2

So geht es einfacher:

x^2/(x^2+1) = (x^2+1-1)/(x^2+1) =  1 - 1/(x^2+1)

Das lässt sich leichter integrieren.

1/(x^2+1) hat ein Standard-Integral, das man weiß oder nachschlagen kann.