Aloha :)
Bei den ersten 3 Teilaufgaben ist der Grenzwert für \(n\to\infty\) gesucht:
$$a_n=\frac{3n^3+4n^2+7n}{n^2-1}>\frac{3n^3+4n^2+7n}{n^2}=3n+4+\frac7n>3n\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\infty$$
$$b_n=\frac{6+7n+2n^2}{5n^2-3n-1}=\frac{\pink{\frac{1}{n^2}}\left(6+7n+2n^2\right)}{\pink{\frac{1}{n^2}}\left(5n^2-3n-1\right)}=\frac{\frac{6}{n^2}+\frac7n+2}{5-\frac3n-\frac{1}{n^2}}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{0+0+2}{5-0-0}=\frac25$$
$$c_n=\frac{7n+5}{1-6n-3n^2}=\frac{\pink{\frac{1}{n^2}}\left(7n+5\right)}{\pink{\frac{1}{n^2}}\left(1-6n-3n^2\right)}=\frac{\frac7n+\frac{5}{n^2}}{\frac{1}{n^2}-\frac6n-3}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{0+0}{0-0-3}=0$$
Bei der letzten Teilaufgabe ist der Grenzwert für \(h\to0\) gesucht:$$\frac{(x+h)^3-x^3}{h}=\frac{(\pink{x^3}+3x^2h+3xh^2+h^3)\pink{-x^3}}{h}=\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$$$$\phantom{\frac{(x+h)^3-x^3}{h}}=\frac{h\cdot(3x^2+3xh+h^2)}{h}=3x^2+3xh+h^2\stackrel{(h\to0)}{\to}=3x^2$$
