Lgs mit Restklassen im Vektorraum

Question

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Lösen Sie das LGS \( A \mathbf{x}=\mathbf{b} \) im \( \mathbb{Z}_{7} \)-Vektorraum \( \mathbb{Z}_{7}^{3} \) mit
\( A=\left(\begin{array}{ccc} \overline{-1} & \overline{-1} & \overline{-2} \\ \overline{-4} & \overline{7} & \overline{-4} \\ \overline{4} & \overline{5} & \overline{2} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c} \overline{1} \\ \overline{2} \\ \overline{6} \end{array}\right) . \)

Bestimmen Sie die Dimension des Lösungsraums und die Anzahl der Lösungen.

Wie geh ich hier vor ?

Answer 1

Man geht vor wie immer: Gauß-Alg usw.

Es muss halt nur in \(Z_7\) gerechnet werden, also modulo 7.

Comments

was heißt in Z7 rechnen und wie bestimmen ich dann die Dimension des Lösungsraums und die Anzahl der Lösungen.

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Immer mit 7er-Resten rechnen. dim Lösungsraum, Anzahl der Lösungen kommt später. Man löst Aufgaben von vorne, also fängt man mal an und dann schaut man erstmal was raus kommt.

Zur modulo-Rechnung steht sicher was in Deinen Unterlagen. Die Bezeichnung \(Z_7\) taucht ja nicht aus heiterem Himmel in so einer Aufgabe auf.

Answer 2

\( \left(\begin{array}{ccc} \overline{-1} & \overline{-1} & \overline{-2}& \overline{1}\\ \overline{-4} & \overline{7} & \overline{-4} & \overline{2}\\ \overline{4} & \overline{5} & \overline{2}&\overline{6} \end{array}\right)  \)

3. Zeile + zweite und 1. mal (-1)

\( \left(\begin{array}{ccc} \overline{1} & \overline{1} & \overline{2}& \overline{-1}\\ \overline{4} & \overline{0} & \overline{-4} & \overline{2}\\ \overline{0} & \overline{5} & \overline{-2}&\overline{1} \end{array}\right)  \)

2. Zeile + 4* 1. Zeile

\( \left(\begin{array}{ccc} \overline{1} & \overline{1} & \overline{2}& \overline{-1}\\ \overline{0} & \overline{4} & \overline{4} & \overline{-2}\\ \overline{0} & \overline{5} & \overline{-2}&\overline{1} \end{array}\right)  \)

Es ist ja 5 gleich -2 in Z7, also

\( \left(\begin{array}{ccc} \overline{1} & \overline{1} & \overline{2}& \overline{-1}\\ \overline{0} & \overline{4} & \overline{4} & \overline{-2}\\ \overline{0} & \overline{-2} & \overline{-2}&\overline{1} \end{array}\right)  \)

Dann gibt 2* 3. Zeile plus 2. Zeile

\( \left(\begin{array}{ccc} \overline{1} & \overline{1} & \overline{2}& \overline{-1}\\ \overline{0} & \overline{4} & \overline{4} & \overline{-2}\\ \overline{0} & \overline{0} & \overline{0}&\overline{0} \end{array}\right)  \)

Ich lasse jetzt die Klassenstriche mal weg:

Also x₃ beliebig, etwa x₃=t , dann \( 4x_2+4t=-2  \) ==>   \( 4x_2=-2 - 4t \)

Wegen 4*2=1 gibt das \( x_2=-4 - t \)

Dann   \(x_1 + x_2+2x_3=-1  \)

   \(x_1 -4-t+2t=-1  \)

          \(x_1=3-t \)

Also sehen die Lösungen so aus

\(\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} 3-t \\ -4-t\\ t \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} \overline{3} \\  \overline{-4} \\  \overline{0} \end{array}\right) +t \cdot \left(\begin{array}{c} \overline{-1}\\ \overline{-1}\\  \overline{1} \end{array}\right) \)

Also Dimension des Lösungsraumes ist 1 und die

Anzahl der Lösungen (Für jedes \( t \in \mathbb{Z}_{7} \) eine)  7 Stück.