Herleitung der Stammfunktion von \(f(x)\)
\(f(x)=10x \cdot e^{-\frac{1}{2}x}\)
Stammfunktion berechnen: (Hier über partielle Integration)
\( \int\limits_{}^{} a'\cdot b=a \cdot b-\int\limits_{}^{} a\cdot b'\)
Du kannst nun festlegen, ob \(a'=10x\) oder \(a'=e^{-\frac{1}{2}x}\) sein soll.
Ich wähle mal \(a'=e^{-\frac{1}{2}x}\)
\( \int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx= \int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx\cdot 10x-\int\limits_{}^{}...dx \)
Einschub:
\(\int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx\)
Substitution:
\(u=-\frac{1}{2}x\)→ \(\frac{du}{dx}=-\frac{1}{2}\) → \(dx=-2du\)
\(\int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx=\int\limits_{}^{}e^u(-2du)=-2 e^u\)
Resubstitution:
\(\int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx = -2 e^{-\frac{1}{2}x} +C \)
Mit \(C=0\):
\( \int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx= (-2 e^{-\frac{1}{2}x})\cdot 10x-\int\limits_{}^{}(-2 e^{-\frac{1}{2}x})\cdot 10dx \)
\( \int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx=-20x \cdot e^{-\frac{1}{2}x} -40 e^{-\frac{1}{2}x} \)
\( \int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx=-20e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (x+2 ) \)
d) Berechnen Sie mithilfe von F den Inhalt der Fläche, die von f mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x - 10 eingeschlossen wird.
Einen Taschenrechner habe ich nicht und könnte es damit auch nicht.
\(A= \int\limits_{0}^{10}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx=[-20e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (x+2 )]_{0}^{10}\\=[-240 \cdot e^{-5}] -[-20 \cdot 1\cdot 2]\\=-240 \cdot e^{-5}+40 \)
\(A≈38,4 \)FE
