Analysis, Extrem, Hoch- Tiefpunkt berechnen, grundlegende Fragen?

Question

Einen schönen guten Abend:

Ich habe ein kleines Grund generelles Verständisproblem im Bereich der Analysis, da ich im Unterricht der ganzen Sache noch nicht so wirklich folgen konnte...

Auch habe ich ein Problem, wenn ich das Extrem ausrechnen muss...

Ich muss dann ja zunächst die erste Ableitung erstellen und diese ausrechnen, in manchen Fällen muss hier ja auch die pq-Formel angewendet werden... Ist das immer notwendig, oder nur je nach Aufgabe unterschiedlich?

Wenn ich die erste Ableitung fertig habe, benötige ich ja die 2.Ableitung, wofür wird diese gebraucht?

Und wie setze ich für die Wertetabelle die Zahlen ein?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die folgende Aufgabe kurz erläutern könnte, vielen lieben Dank schon einmal!

Um diese Aufgabe geht es :

Benötigt wird : Hoch oder Tiefpunkt, Wendepunkt, Wertetabelle für Funktionsgraph, 1. + 2. Ableitung und sehr wichtig, das Extrem...

f (x) = 0,1 ( -3x² + 14x - 36) 

Es ist mir wirklich sehr wichtig, diese Aufgabe zu verstehen...

Dankeschön!

Answer 1

f(x) = 0.1·(- 3·x^2 + 14·x - 36) = - 0.3·x^2 + 1.4·x - 3.6

Zunächst mal ist das eine quadratische Funktion. Die hat man eigentlich schon in der 8. Untersucht auf Nullstellen und Scheitelpunkt. Eigentlich kannst du das bereits also mit dem Wissen der 8. Klasse machen.

Wichtig in der Analysis ist das Lösen von Gleichungen. Weil sowohl für Nullstellen, Extremstellen und auch Wendestellen werden die Nullstellen irgendwelcher Funktionen gesucht.

D.h. du solltest Gleichungen lösen können.

Lineare, quadratische, und ganzrationale Gleichungen höheren Grades. Für quadratische Gleichungen kannst du also z.B. die pq. Formel anwenden. Das muss aber nicht sein. Man kann eventuell auch x Ausklammern, direkt nach x auflösen, den Satz von Vieta anwenden oder auch die Mitternachtsformel anwenden.

Du solltest also da etwas tun.

Ich mache gleich nur mal deine Aufgabe vor.

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Funktion und Ableitungen

f(x) = - 0.3·x^2 + 1.4·x - 3.6

f'(x) = - 0.6·x + 1.4

f''(x) = - 0.6

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 3.6

Nullstellen f(x) = 0

- 0.3·x^2 + 1.4·x - 3.6 = 0   | Mitternachtsformel x = (- b ± √(b^2 - 4·a·c))/(2·a)

Keine Nullstellen

Extrempunkte f'(x) = 0

- 0.6·x + 1.4 = 0

x = - 1.4 / (- 0.6) = 7/3 ≈ 2.333

f(7/3) = - 59/30 ≈ -1.967 --> Hochpunkt HP(2.333 | -1.967)

Es gibt 3. Möglichkeiten den Hochpunkt zu erklären

1. Eine nach unten geöffnete Parabel hat immer einen HP

2. f'(x) hat bei 7/3 ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus.

3. f''(7/3) < 0

Wendepunkte f''(x) = 0

- 0.6 ≠ 0

Keine Wendepunkte

Answer 2

Ich muss dann ja zunächst die erste Ableitung erstellen und diese ausrechnen, in manchen Fällen muss hier ja auch die pq-Formel angewendet werden... Ist das immer notwendig, oder nur je nach Aufgabe unterschiedlich?

Du musst die erste Abl. gleich Null setzen.

Diese Gleichung musst du lösen, wenn es eine

quadratische Gleichung ist, dann mit der pq-Formel. Bei anderen Gleichungen

eben mit den passenden Methoden.

Wenn du z.B.  f ' (x) = 2x + 4 hast, dann rechnest du

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -2   und hast die Lösung ohne pq-Formel.

Die zweite Ableitung brauchst du, um zu prüfen, ob bei der ausgerechneten Stelle

wirklich ein Extermwert ist.  Du setzt die ausgerechneten Werte bei f ' ' (x) ein

und wenn das Ergebnis positiv ist, ist dort ein Minimum und bei

negativ ein Maximum.

Welche Zahlen du bei der Wertetabelle nimmst, hängt immer davon ab, was du

bei Extrempunkten und Nullstellen schon herausgefunden hast.

Fang doch mal mit deiner Aufgabe an und stelle den Anfang hier herein.